2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Нетривиальный автоморфизм
Сообщение02.10.2012, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Существует ли нетривиальный автоморфизм $g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, такой что $|g(z)|=|z|$ для всякого $z\in\mathbb{C}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальный автоморфизм
Сообщение02.10.2012, 22:45 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
$z \mapsto \bar{z}$ пойдет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальный автоморфизм
Сообщение02.10.2012, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Да, затупил, спасибо. Рассмотрим алгебраическое замыкание $\overline{\mathbb{Q}}$ поля $\mathbb{Q}$. Чему равна мощность группы $\mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}})$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальный автоморфизм
Сообщение02.10.2012, 23:17 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Ну двум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальный автоморфизм
Сообщение03.10.2012, 04:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Joker_vD, не понял. Это почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальный автоморфизм
Сообщение03.10.2012, 12:18 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Потому что $i$ вы можете отобразить либо в $i$, либо в $-i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальный автоморфизм
Сообщение03.10.2012, 15:55 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Joker_vD в сообщении #626422 писал(а):
Потому что $i$ вы можете отобразить либо в $i$, либо в $-i$.
И что? Вроде бы алгебраически замкнутые поля имеют много автоморфизмов: "дикие" автоморфизмы поля $\mathbb{C}$, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальный автоморфизм
Сообщение03.10.2012, 16:04 
Заслуженный участник


08/01/12
915
xmaister в сообщении #626255 писал(а):
Существует ли нетривиальный автоморфизм $g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, такой что $|g(z)|=|z|$ для всякого $z\in\mathbb{C}$?

Такой автоморфизм обязан быть непрерывным, поэтому он либо тождественен, либо есть комплексное сопряжение.

-- 03.10.2012, 17:06 --

xmaister в сообщении #626269 писал(а):
Да, затупил, спасибо. Рассмотрим алгебраическое замыкание $\overline{\mathbb{Q}}$ поля $\mathbb{Q}$. Чему равна мощность группы $\mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}})$?

Несчетна она.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальный автоморфизм
Сообщение03.10.2012, 20:38 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Существует гиперконтинуум автоморфизмов поля $\mathbb{C}$. Это известно любому ребёнку.

А вот сколько всего автоморфизмов у алгебраического замыкания поля $\mathbb{Q}$?

-- Ср окт 03, 2012 23:39:10 --

apriv в сообщении #626474 писал(а):
Несчетна она.

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальный автоморфизм
Сообщение03.10.2012, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Профессор Снэйп в сообщении #626604 писал(а):
Почему?
Для каждой простой степени $p$ есть $p-1$ вариант действия автоморфизма на корнях $p$-й степени из $1$, причем любую комбинацию можно реализовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальный автоморфизм
Сообщение03.10.2012, 21:45 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Профессор Снэйп в сообщении #626604 писал(а):
apriv в сообщении #626474 писал(а):
Несчетна она.

Почему?

Бесконечная проконечная группа обязана быть несчетной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальный автоморфизм
Сообщение04.10.2012, 21:00 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
...что такое автоморфизм?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальный автоморфизм
Сообщение04.10.2012, 22:33 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Joker_vD в сообщении #627001 писал(а):
...что такое автоморфизм?

Как всегда, изоморфизм с собой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальный автоморфизм
Сообщение04.10.2012, 23:45 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Короче, единица должна на месте оставаться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальный автоморфизм
Сообщение05.10.2012, 08:13 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Joker_vD в сообщении #627064 писал(а):
Короче, единица должна на месте оставаться?

Изоморфизм сохраняет все операции, в том числе и единицу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group