Лемма о конечном покрытии (прицип Бореля - Лебега)

[goganchic]

Одна из базовых лемм анализа гласит, что если система $S = \{U\} $ интервалов U покрывает отрезок $ [a, b] = I_1$, то из нее можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот отрезок. Почему данная лемма не выполняется если заменить отрезок $ [a, b] = I_1$ интервалом $ ]a, b[ = I_1$ или попытаться покрыть отрезок $ [a, b] = I_1$ системой отрезков? Почему в этом случае не всегда может быть выделена конечная подсистема?

[Joker_vD]

Ну вот не может. Рассмотрите а) систему интервалов $\left]\frac{a+b}2-\varepsilon,\frac{a+b}2+\varepsilon\right[$, где $0<\varepsilon<\frac{b-a}2$; б) систему отрезков $[x,x]$, где $a\leqslant x\leqslant b$.

[goganchic]

извините, но по системе интервалов что-то не понял, можете чуть подробнее объяснить. Я себе
по поводу системы отрезков - вообще, можно ли рассматривать отрезки нулевой длины?

[Joker_vD]

goganchic в сообщении #627271 писал(а):

извините, но по системе интервалов что-то не понял, можете чуть подробнее объяснить.

Вот вы берете интервал $]a,b[$, покрываете его системой интервалов $\left]\frac{a+b}2-\varepsilon,\frac{a+b}2+\varepsilon\right[$. Это действительно покрытие, и из него конечное подпокрытие никак не извлечешь: любое конечное множество интервалов указанного вида покрывает столько же, сколько и самый большой интервал — то есть чуть меньше, чем весь $]a,b[$.

goganchic в сообщении #627271 писал(а):

по поводу системы отрезков - вообще, можно ли рассматривать отрезки нулевой длины?

Ну, отрезок из одной точки — все-таки отрезок. Если же рассматривать покрытия отрезка отрезками ненулевой длины (или, более общо, замкнутыми множествами с непустой внутренностью), то утверждение будет выполняться: вы сможете выделить конечное подпокрытие. Кстати, можете прикинуть, сколько отрезков нулевой длины можно допустить в покрытие, чтобы из него все равно выделялось конечное подпокрытие?

[Padawan]

Joker_vD
Вырожденные отрезки -- это читерство. Лучше так: покрываем полуинтервал $[0,1)$ отрезками $[\frac{n-1}n,\frac{n}{n+1}]$ и добавляем отрезок $[1,2]$. Получается бесконечное покрытие отрезка $[0,2]$, из которого нельзя выделить конечное подпокрытие.

-- Пт окт 05, 2012 20:46:54 --

Joker_vD в сообщении #627275 писал(а):

Ну, отрезок из одной точки — все-таки отрезок.

Я бы поспорил.

[goganchic]

Joker_vD в сообщении #627275 писал(а):

Это действительно покрытие, и из него конечное подпокрытие никак не извлечешь: любое конечное множество интервалов указанного вида покрывает столько же, сколько и самый большой интервал — то есть чуть меньше, чем весь

что мешает взять самый большой интервал? Если я правильно понимаю, то он будет включать в себя все меньшие интервалы и конечное покрытие в именно этом случае как раз возможно.

[TOTAL]

goganchic в сообщении #627281 писал(а):

что мешает взять самый большой интервал?

Самый большой - это какой?

[Someone]

Joker_vD в сообщении #627275 писал(а):

Если же рассматривать покрытия отрезка отрезками ненулевой длины (или, более общо, замкнутыми множествами с непустой внутренностью), то утверждение будет выполняться: вы сможете выделить конечное подпокрытие.

Неверно.

[Joker_vD]

Someone
Имелось в виду покрытие отрезка (т.е. компактного множества).

[Someone]

Я понял, что отрезка. Padawan и показал покрытие отрезка отрезками, из которого нельзя выбрать конечное подпокрытие.

[goganchic]

TOTAL в сообщении #627283 писал(а):

Самый большой - это какой?

все, понял, туплю :)

[Joker_vD]

Да. Точно. Вот знаю же, что интервалы в покрытии обязаны перекрываться, а отрезки могут лишь касаться граничными точками, откуда вся разница и идет, а все равно впросак попадаю.

[bendr]

Я видел два доказательства данной леммы, например здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0% ... 0%BB%D1%8F
Если со вторым все вроде понятно, то не является ли первое (основанное на вложенных отрезках) несколько неполным? Кажется это доказательство должно работать, если систему интервалов заменить на систему отрезков, чего быть не должно.

[ewert]

bendr в сообщении #814736 писал(а):

Кажется это доказательство должно работать, если систему интервалов заменить на систему отрезков,

Это потому кажется, что там несколько коряво изложено. Слова "добавив его к конечному покрытию какого-нибудь отрезка $[a,x']$, где $x'<x$, $x'\in\sigma$" следует понимать так: "возьмём любую точку $x'<x$, попадающую в $\sigma$, после чего добавим $\sigma$ к конечному покрытию отрезка $[a,x']$" . Здесь, конечно, существенно, что $\sigma$ -- это именно интервал, т.е. что $x$ -- это именно внутренняя точка $\sigma$.

[bendr]

Спасибо, но с этим как раз всё понятно, вопрос касался другого, первого варианта доказательства.
Там, например, есть такое: "Тогда все отрезки последовательности [$a_k, b_k$] , начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом $\sigma$ , что противоречит самому выбору этих отрезков"
Если длина интервала $\sigma$ конечна, то да. Но ведь она может быть бесконечно малой величиной?

Deggial: Все формулы и термы следует набирать $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).