Задача о многочлене

[likusta]

Добрый вечер, подскажите пожалуйста, как можно решить следующую задачу:
Изначальная задача: Дан многочлен 2012 степени, коэффициент при $ x^{2012} $ единица, остальные целые. Какое наибольшее количество корней этот многочлен может иметь в интервале $(0;1)$.

Я пытался решить следующим образом: Понятно, что 2012 их быть не может. Построим многочлен степени 2011 с рациональными корнями в интервале $(0;1)$, потом умножим его на целое число так чтобы все коэффициенты стали целыми и прибавим $x^{2012}$. Возникает вопрос, как я могу доказать, что 2011 корней будут лежать в интервале $(0;1)$? И будет ли это так?

Если все 2011 корней были кратными, будут ли корни с кратностью более 1?

[ИСН]

likusta в сообщении #627284 писал(а):

Если все 2011 корней были кратными

...то степень многочлена была не 2011. (Я подозреваю, что Вы имели в виду нечто другое, но словами выразили его неудачно.)
По сути же имею сказать, что доказать-то просто: положим, какие-то корни убегут - ну и ладно, а мы тогда добавим не целый, а половинку, ${1\over2}x^{2012}$. Если и этого много - добавим четвертинку. Осьмушку. Стопицоттысячную. Когда-нибудь они перестанут убегать.

[likusta]

ИСН в сообщении #627299 писал(а):

likusta в сообщении #627284 писал(а):

Если все 2011 корней были кратными

...то степень многочлена была не 2011. (Я подозреваю, что Вы имели в виду нечто другое, но словами выразили его неудачно.)

Я имел ввиду, следующее, если у нас был многочлен $(10x-1)^{2011}$ и мы добавили к нему $x^{2012}$, останутся ли у него кратные корни после добавления $x^{2012}$?

-- Пт окт 05, 2012 18:17:12 --

ИСН в сообщении #627299 писал(а):

likusta в сообщении #627284 писал(а):

По сути же имею сказать, что доказать-то просто: положим, какие-то корни убегут - ну и ладно, а мы тогда добавим не целый, а половинку, ${1\over2}x^{2012}$. Если и этого много - добавим четвертинку. Осьмушку. Стопицоттысячную. Когда-нибудь они перестанут убегать.

Коэффициент при $x^{2012}$ единица. Ой, это не важно в нашем случае.

[ИСН]

likusta в сообщении #627302 писал(а):

Я имел ввиду, следующее, если у нас был многочлен $(10x-1)^{2011}$ и мы добавили к нему $x^{2012}$, останутся ли у него кратные корни после добавления $x^{2012}$?

Скорее нет, чем да. Что-то более определённое сказать трудно. Может, часть корней вообще перестанут быть действительными.

likusta в сообщении #627302 писал(а):

Коэффициент при $x^{2012}$ единица. Ой, это не важно в нашем случае.

Именно так: мы потом домножим всё на некое число, и он будет 1.