Интеграл, зависящий от n

[Arcanine]

Имеется интеграл

$$\int\limits_{0}^{T} {f}^{2n}(nx) dx$$

, где $T$ - основной период $f(nx)$, а $f(nx)$ - ограничена. Можно ли утверждать, что исходное выражение равно $$\int\limits_{0}^{T} {f}^{2n}(x) dx,\ n\to \infty\ ?$

[ewert]

Естественно, можно (поскольку показатель степени в такого рода утверждении вообще не при чём).

[Arcanine]

ewert, спасибо. А как лучше показать? Через интегральные суммы?

[alcoholist]

Arcanine в сообщении #626789 писал(а):

А как лучше показать? Через интегральные суммы?

по тавтологическим причинам... Если выражение равно $A$, то оно равно $A$

[Arcanine]

alcoholist, это как? Хотелось бы строго доказать.

[ИСН]

Строго - заменой nx на новую переменную.

[Arcanine]

ИСН, пусть так
$...=\frac 1 n\int\limits_{0}^{nT} {f}^{2n}(y) dy$. Что мне это даст?

[Arcanine]

Там не $2\pi$, а $T$.

AKM:

Исправил там.

[Arcanine]

AKM, спасибо.
А так можно?
...=

$$\int\limits_{0}^{T} {f}^{2n}[n(x+\frac {T} n)] dx=\sum_{k=0}^{n-1}\int\limits_{\frac {T } n k}^{\frac {T} n (k+1)} {f}^{2n}[n(x+\frac {T} n)] dx=\sum_{k=0}^{n-1}1\cdot \frac 1 n\int\limits_{0}^{T} {f}^{2n}(y) dy=\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{T} {f}^{2n}(y)dy=\int\limits_{0}^{T} {f}^{2n}(y)dy$$

[Arcanine]

Кто развеет мои сомнения? Или наоборот.

[--mS--]

Не так быстро. Чтобы осознать смысл равенства $\sum\limits_{k=0}^{n-1}1\cdot \frac 1n = \int\limits_0^1 dx$, суток мало. Могу предложить ещё десятка два альтернативных форм записи единицы. Например,

$$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}1\cdot \frac 1n = \cos^2(7^\circ)+\sin^2(7^\circ) = - e^{i\pi} = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\mathbb R} e^{-x^2/2}dx} = \ldots. $$

[Arcanine]

--mS--, можем ли мы вынести интеграл за сумму? Меня смущает то, что подынтегральная функция зависима от n.

[--mS--]

Ох ты господи... Суммирование ведётся по какой буковке? Обозначьте весь интеграл буквой $C$. Можно $C(n)$. Или $C(T,n)$.

И ещё не повредит вернуться к совету ИСН и довести решение до конца (начиная со слов "что мне это даст?").

[Arcanine]

--mS--, спасибо.

Цитата:

И ещё не повредит вернуться к совету ИСН и довести решение до конца (начиная со слов "что мне это даст?").

А среднее значение может дать какие-то результаты?

[--mS--]

No comments. Дайте себе труд хоть раз задуматься. Разглядеть очевидное.