Нетривиальный автоморфизм

[xmaister]

Существует ли нетривиальный автоморфизм $g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, такой что $|g(z)|=|z|$ для всякого $z\in\mathbb{C}$?

[AV_77]

$z \mapsto \bar{z}$ пойдет?

[xmaister]

Да, затупил, спасибо. Рассмотрим алгебраическое замыкание $\overline{\mathbb{Q}}$ поля $\mathbb{Q}$. Чему равна мощность группы $\mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}})$?

[Joker_vD]

Ну двум.

[xmaister]

Joker_vD, не понял. Это почему?

[Joker_vD]

Потому что $i$ вы можете отобразить либо в $i$, либо в $-i$.

[nnosipov]

Joker_vD в сообщении #626422 писал(а):

Потому что $i$ вы можете отобразить либо в $i$, либо в $-i$.

И что? Вроде бы алгебраически замкнутые поля имеют много автоморфизмов: "дикие" автоморфизмы поля $\mathbb{C}$, например.

[apriv]

xmaister в сообщении #626255 писал(а):

Существует ли нетривиальный автоморфизм $g:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, такой что $|g(z)|=|z|$ для всякого $z\in\mathbb{C}$?

Такой автоморфизм обязан быть непрерывным, поэтому он либо тождественен, либо есть комплексное сопряжение.

-- 03.10.2012, 17:06 --

xmaister в сообщении #626269 писал(а):

Да, затупил, спасибо. Рассмотрим алгебраическое замыкание $\overline{\mathbb{Q}}$ поля $\mathbb{Q}$. Чему равна мощность группы $\mathrm{Aut}(\overline{\mathbb{Q}})$?

Несчетна она.

[Профессор Снэйп]

Существует гиперконтинуум автоморфизмов поля $\mathbb{C}$. Это известно любому ребёнку.

А вот сколько всего автоморфизмов у алгебраического замыкания поля $\mathbb{Q}$?

-- Ср окт 03, 2012 23:39:10 --

apriv в сообщении #626474 писал(а):

Несчетна она.

Почему?

[Xaositect]

Профессор Снэйп в сообщении #626604 писал(а):

Почему?

Для каждой простой степени $p$ есть $p-1$ вариант действия автоморфизма на корнях $p$-й степени из $1$, причем любую комбинацию можно реализовать.

[apriv]

Профессор Снэйп в сообщении #626604 писал(а):

apriv в сообщении #626474 писал(а):

Несчетна она.

Почему?

Бесконечная проконечная группа обязана быть несчетной.

[Joker_vD]

...что такое автоморфизм?

[apriv]

Joker_vD в сообщении #627001 писал(а):

...что такое автоморфизм?

Как всегда, изоморфизм с собой.

[Joker_vD]

Короче, единица должна на месте оставаться?

[apriv]

Joker_vD в сообщении #627064 писал(а):

Короче, единица должна на месте оставаться?

Изоморфизм сохраняет все операции, в том числе и единицу.