Задачи по равномерной непрерывности

[Alvarg]

Приветствую! Нужна помощь в решении следующих задач:

1) Функция $f$ непрерывна на ограниченом множестве $M \in R^n$ Тогда:
f равномерно непрерывна на M $ \Leftrightarrow$ имеет конечный предел в каждой предельной точке.

2) M - произвольно, $f$ равномерно непрерывна $\Rightarrow$ f имеет конечный предел в каждой конечной предельной точке.

3) f непренывна на неограниченном множестве M и имеет конечный предел в каждой предельной точке (в т.ч. $\inf$) $\Rightarrow$ f - равномерно непрерывна на M


Порядок доказательства 2->1->3. У самого есть некоторые мысли, но до конца ничего довести не могу. Заранее благодарю)

[bot]

Alvarg в сообщении #626070 писал(а):

У самого есть некоторые мысли

А Вы не стесняйтесь - поделитесь этими мыслями. Надо ведь знать, где у Вас застопорилось, иначе и непонятно, что Вам подсказать.

[Alvarg]

2) Если рассматривать предельные точки из множества M то проблем нет. Там f непрерывна, и поэтому предел есть.
Осталось рассмотреть предельные точки $ a \notin M$
Если две любые последовательности стремящиеся к a будут иметь равные пределы, то значит есть предел f. Не могу придумать как доказать это из определения равномерной непрерывности (все попытки в итоге оказываются неудачными).
Думаю надо сделать нечто подобное доказательству теоремы Кантора.

1) в одну сторону следует из второй задачи. Остается доказать равномерную непрерывность. Тоже все попытки ни к чему не приводят.

[Alvarg]

Ни к чему новому так и не пришел. Неужели ни у кого нет никаких мыслей?)

[мат-ламер]

Alvarg в сообщении #626110 писал(а):

Остается доказать равномерную непрерывность. Тоже все попытки ни к чему не приводят.

Попробуйте доказывать от противного.

[ewert]

Alvarg в сообщении #626110 писал(а):

2) Если рассматривать предельные точки из множества M то проблем нет. Там f непрерывна, и поэтому предел есть.
Осталось рассмотреть предельные точки $ a \notin M$

Какая разница, содержится ли предельная точка в множестве или нет? Пафос-то ведь в том, что при отсутствии предела существует сходящаяся последовательность точек множества, по которой последовательность значений функции не фундаментальна, а это в лоб противоречит равномерной непрерывности.

[Alvarg]

Благодаря ewert, собрал в кучу все мысли и оформил все доказательство(ewert, огромное спасибо!). Теперь перешел к 1ой задаче. В одну сторону доказано по 2ой задаче. Доказываем в другую.
Имеем непрерывность, ограниченость, существование конечного предела в любой точке множества.
Пытался идти от противного(предположим что верно отрицание равномерной нерпрерывности) и либо получить отсутствие предела в какой-то точке либо непрерывности.. но пока не удалось. Может стоит подумать в другом направлении? Но я ума не приложу в каком...

[mihailm]

Наверно надо продолжить функцию на замыкание M

[Alvarg]

mihailm в сообщении #632560 писал(а):

Наверно надо продолжить функцию на замыкание M

Ага, тоже так думаю. Тогда неоходимо проверить непрерывность доопределенной функции(в новых точках области определения пусть она равна пределу в этой предельной точке).

[bot]

Alvarg в сообщении #641793 писал(а):

Тогда неоходимо проверить непрерывность доопределенной функции

Дык, это так по определению. Потому и говорят - продолжим по непрерывности.

[RIP]

bot в сообщении #641952 писал(а):

Alvarg в сообщении #641793 писал(а):

Тогда неоходимо проверить непрерывность доопределенной функции

Дык, это так по определению. Потому и говорят - продолжим по непрерывности.

Не всё так просто. Доопределённая функция будет непрерывна по множеству $M$, а это не то же самое, что непрерывность, поэтому требуется дополнительные пояснения. (Т.е. в каждой точке предел функции по множеству $M$ равен значению функции, но почему точки из $\overline M\setminus M$ ничего не испортят?)

Я бы рассуждал от противного. Пусть в какой-то точке $x_0$ нет непрерывности. Тогда найдётся последовательность точек $\overline M\ni x_n\to x_0$, что $f(x_n)$ гуляют вне какой-то окрестности $f(x_0)$. Точки $x_n$ можно заменить достаточно близкими точками из $M$, и получается противоречие с тем, что $f(x_0)=\lim\limits_{M\ni x\to x_0}f(x)$.

Но можно ничего и не доопределять, а непосредственно доказывать равномерную непрерывность от противного (как в теореме Кантора). Если нет равномерной непрерывности, то можно построить две сходящиеся послед-ти $x_n\to x_0\leftarrow y_n$, что $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$. Если $x_0\in M$, то получаем противоречие с непрерывностью, а если $x_0\notin M$, то — с существованием конечного предела.