Лемма Накаямы

[n.nastr]

Добрый вечер! Я начал разбираться в доказательстве следующего утверждения, но в одном месте не могу понять, что происходит. Помогите, пожалуйста, разобраться.

Пусть $I$ - идеал в $A$, а $M$ - такой конечно порожденный $A$-модуль, что $IM=M$. Тогда существует такой $x\in I$, что $(1-x)M=0$. В частности, если $I$ содержится в радикале Джекобсона, то $M=0$.

Пусть $m_{1}, \ldots ,m_{n}$ — образующие модуля $M$. Так как $M = IM$, каждый из них представим в виде

$$m_{i}=a_{i1} m_{1}+ \ldots + a_{in} m_{n},$$

где $a_{ij}$ — элементы идеала $I$. То есть $\sum_j (\delta_{ij}-a_{ij})m_{j}$ .

как отсюда следует, что $\det(\delta_{ij}-a_{ij})m_{j}=0$?

Спасибо заранее!

[Joker_vD]

Домножаете слева систему $\sum\limits_{j=1}^n (\delta_{ij}-a_{ij})m_j=0$ на присоединенную к $(\delta_{ij}-a_{ij})$ матрицу, и получаете, что умножение на $\det(\delta_{ij}-a_{ij})$ превращает любой элемент модуля в ноль, а значит, и сам этот $\det(\delta_{ij}-a_{ij})$ — тоже ноль.