Суммы Рамануджана [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Читаю в книге Титчмарша "Теория дзета-функции Римана" так называемые суммы Рамануджана(стр. 14) и возникло несколько вопросов, но задам для начала первый.
Пусть

$$c_k(n)=\sum \limits_{{h=1} \atop {(h,k)=1}}^{k} e^{2\pi i nh}$$

Доказать, что

$$c_k(n)=\sum \limits_{d|(k,n)}\mu\left(\frac{k}{d}\right)d$$

1) Там написано, что

$$c_k(n)=\sum \limits_{{h=1} \atop {(h,k)=1}}^{k} e^{2\pi i nh}=\sum \limits_{{h=1} \atop {(h,k)=1}}^{k} \cos \frac{2\pi nh}{k}$$

Насколько я понял, то здесь используется формула Эйлера $e^{it}=\cos t+i \sin t$. Получается, что ряд из синусов обнулился. А почему так?

С уважением, Whitaker.

[Sonic86]

Синус - нечетная функция, потом, если $k\perp h$, то и $h-k\perp h$ и тогда синусы с $k=h-k;k$ при $h-k\neq k$ в сумме дают нуль. При $h-k=k$ синус просто равен нулю.

[Whitaker]

Sonic86
А причем тут знак ортогональности?

[ИСН]

Каждое натуральное число - это как бы вектор в бесконечномерном пространстве, где по осям отложены простые сомножители.

-- Пн, 2012-10-01, 00:27 --

Вот так и мы - рождаемся, живём и умираем.

[Whitaker]

ИСН
ну вроде понятно.
Значит запись $h\perp k$ означает, что числа, отвечающие $h$ и $k $ взаимно-простые. Так?

[ИСН]

Понятно-то оно и так из контекста. А я пояснил, почему такое обозначение ещё и естественно.

[Whitaker]

Sonic86
а что у Вас $h-k$ вообще означает?
ведь при разности могут быть отрицательные координаты?!

[ex-math]

В сумме синусов вместе с каждым слагаемым $\sin\frac{2\pi nh}{k}$ присутствует также слагаемое $\sin\frac{2\pi n(k-h)}{k}$, которое противоположно первому.

Чтобы доказать заявленную формулу, нужно опустить условие взаимной простоты, добавив в каждое слагаемое множитель $\sum_{d\mid(h,k)}\mu(d)$, который равен 1 если $(h,k)=1$ и нулю в противном случае. Затем поменять порядок суммирования.

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #625422 писал(а):

Sonic86
А причем тут знак ортогональности?

Обозначение $a\perp b$ означает в точности $\gcd(a,b)=1$, взято оно из Кнута Конкретной математики. По-моему, удачное. На бумаге просто удобнее писать - меньше мелких букв, кроме того $(a,b)$ - это вообще пара.

[Whitaker]

ex-math
Действительно, в ряде из синусов $\varphi(k)$ членов, но $\varphi(k)$ принимает всегда четные значения при $k\neq 1,2$. Там получается, что ряд из синусов обнуляется.
Теперь там рассматривают сумму вида $\eta_{k}(n)=\sum \limits_{m=0}^{k-1}e^{\frac{2\pi i mn}{k}}$. Очевидно, что:
$\eta_k(n) = \begin{cases} k, & k\mid n \\ 0, & k\nmid n \end{cases}$
Он пишет следующее, чтобы воспользоваться обращением Мебиуса:
$\sum \limits_{d\mid k}c_d(n)=\sum \limits_{d\mid k}\sum \limits_{(r,d)=1 \atop {r<d}}e^{\frac{2\pi i nr}{d}}=\eta_k(n)$
Такой вопрос: непонятно как они получили последнее равенство? Они поменяли порядок суммирования, но непонятно как это получилось.

[ex-math]

В сумме $\eta_k(n)$ надо сгруппировать члены, имеющие одно и то же значение $l=(m,k)$, а потом сделать замену $d=k/l$.

Но лучше, не пользуясь формулой обращения, сделать напрямую, как я выше писал.

[Whitaker]

ex-math
хотя да согласен с Вами. Ваш способ намного понятней.
$c_k(n)=\sum \limits_{h=1\atop{(h,k)=1}}^{k}e\left(\frac{nh}{k}\right)=\sum \limits_{h=1}^{k}e\left(\frac{nh}{k}\right)\sum \limits_{d\mid (h,k)}\mu(d)$, где
$\sum \limits_{d\mid (h,k)}\mu(d) = \begin{cases} 1, & (h,k)=1\\ 0, & (h,k)\neq1 \end{cases}$
Теперь нужно поменять порядок суммирования, т.е. сначала по $d$, а потом по $h$. Но менять порядок суммирования у меня часто не получается, да и здесь тоже. Подскажите пожалуйста.

[Whitaker]

Я вот вроде поменял порядок суммирования и у меня получилось такое:

$\sum \limits_{d=1 \atop{d\mid k}}^{k}\mu(d)\sum \limits_{h=1\atop {d \mid h}}^{k}e\left(\frac{nh}{k}\right)$
Верно?
А его еще можно вроде так написать:
$\sum \limits_{d=1 \atop{d\mid k}}^{k}\mu\left(\frac{k}{d}\right)\sum \limits_{h=1\atop {\frac{k}{d} \mid h}}^{k}e\left(\frac{nh}{k}\right)$

[Whitaker]

Вот поработал с внутренней суммой и получил:
$\sum \limits_{h=1 \atop{\frac{k}{d}\mid h}}^{k}e\left(\frac{nh}{k}\right)=\sum \limits_{j=1}^{d}e\left(\frac{jn}{d}\right)= \begin{cases} d, & d\mid n \\ 0, & d\nmid n \end{cases}$
Случай $d\nmid n$ нам неинтересен, а при $d\mid n$ получаем, что:
$c_k(n)=\sum \limits_{d=1\atop{d\mid k, d\mid n}}^{k}\mu \left(\frac{k}{d}\right)d$

-- Пн окт 01, 2012 17:59:33 --

А мы должны получить, что:
$c_k(n)=\sum \limits_{d=1\atop{d\mid (n,k)}}^{k}\mu \left(\frac{k}{d}\right)d$
У них стоит $d\mid (n,k)$, а у меня $d\mid k, d\mid n$. Это наверное одно и тоже? Если да, то почему?

[nnosipov]

Whitaker в сообщении #625663 писал(а):

Если да, то почему?

Потому что любой общий делитель чисел является делителем наибольшего общего делителя этих чисел --- медицинский факт