производная от E=mc^2

[_Ivana]

junkhead в сообщении #625182 писал(а):

$y=x^2$ не пойдёт. Я не знаю, что такое Х. Если сможете привести пример из жизни, где эта формула описывает какое-либо явление, тогда можно попробовать.

Координата летящего вниз яблока от времени (до удара о голову). Жизненнее некуда.

[nnosipov]

junkhead в сообщении #625182 писал(а):

$y=x^2$ не пойдёт. Я не знаю, что такое Х. Если сможете привести пример из жизни, где эта формула описывает какое-либо явление, тогда можно попробовать.

Вы камушки когда-нибудь бросали? По какой траектории они обычно летают? Поразмышляйте на досуге.

[Shtorm]

junkhead в сообщении #625182 писал(а):

Значит надо теперь взять другую формулу, где есть квадрат и попытаться разобраться с ней...

А я Вам сразу посоветовал

Shtorm в сообщении #625151 писал(а):

...Например, на взятии производной от $E=\frac {mv^2}{2}$ ?

Тоже из физики, раз Вы любите брать пример из физики и тоже энергия, раз любите дифференцировать энергию. Возьмите производную по $v$, там интересная формула выйдет.

[Munin]

Вам не нужно знать, что такое $x.$ Вам нужно знать, какое пространство рассматривается, и какие величины зависят от каких в этом пространстве, а какие нет, а какие - просто константы, буквы, заменяющие числа.

Начинается всё с простейшего 2-мерного пространства, образованного двумя величинами: $x$ и $y$ (например). Можно взять зависимость между этими двумя величинами, например, $x=y^2.$ Эта зависимость задаёт в этом пространстве 1-мерную линию. Глядя на эту линию "сверху", вы получаете зависимость $y(x)$ - в данном случае две ветки $y(x)=\sqrt{x}$ и $y(x)=-\sqrt{x}.$ Глядя на эту линию "сбоку", вы получаете зависимость $x(y)=y^2.$ И то и другое можно дифференцировать, поскольку ясно, что дифференцировать, и по чему, и при каких условиях. $x'(y)=2y.$

Начнём вводить ещё буквы. Например, введём букву $n,$ которая просто постоянная величина. Теперь мы можем записать $x=y^n,$ где по-прежнему переменными являются только $x$ и $y.$ Производные берутся по тем же правилам, не обращая внимания на $n.$ $x'(y)=ny^{n-1}.$

Теперь введём неконстантную букву, например, $z=y^2.$ И используем её как-нибудь в выражении нашей зависимости, например, $x=yz^n.$ Вот тут начнутся сложности. Чтобы рассмотреть производную, надо будет выразить в виде явных функций не только $x(y,z(y)),$ но и $z(y),$ и после этого брать производную от сложной функции: $x'_y(y,z(y))=z^n+y(nz^{n-1})\cdot 2y.$ Внимание! Всё это верно, только пока у нас пространство по-прежнему 2-мерное.

Более сложный случай возникает, когда мы рассматриваем 3-мерное пространство, образованное переменными $x,y$ и $z.$ Тогда у нас две зависимости $x=yz^n$ и $z=y^2$ задают две 2-мерных поверхности в нашем пространстве, и возникает множество разных случаев и вариантов. В общем случае, две 2-мерных поверхности пересекаются, и их пересечение - 1-мерная линия. Это как раз та линия, которая была и в предыдущем абзаце, если её спроецировать на плоскость $(x,y),$ исключив переменную $z.$ Но бывают и другие варианты: поверхности могут соприкасаться в точке, могут совпадать по целой области, могут вообще не пересекаться. И наконец, возникает целый мешок разнообразных производных: линию можно дифференцировать по разным переменным, по $x,$ по $y,$ по $z;$ сами поверхности тоже можно дифференцировать по разным переменным и по парам переменных, и наконец, по направлениям.

Всё это я к тому, что нельзя набрасываться на физическую формулу, не разобравшись вначале очень тщательно, со скольки-мерным пространством вы имеете дело (причём в зависимости от интерпретации может быть по-разному), какие величины вы считаете независимыми переменными (как $x$ и $y$ выше), какие - зависимыми (как $z$ в 2-мерном случае выше), какие - константами (как $n$). После этого, можно будет брать производные, и по тому, как вы приняли эти решения, производные будут разные.

Для конкретно формулы $E_0=mc^2$ обычно считается, что функциональной зависимости она вообще не изображает, а связывает между собой три константы, массу системы, энергию покоя системы и скорость света. Эти константы входят в другие выражения, именно на правах констант, например, полная энергия тела $E=E_0+O(v^2).$

[junkhead]

Спасибо. Не знаю, но я люблю до сути вещей докапываться.
А есть какая книга, где вот так на пальцах объясняется всё?

[Munin]

Учебник по матанализу. Только в нём это размазано от первого тома до последнего.

[epros]

junkhead в сообщении #625182 писал(а):

И тут я подумал, а что значит этот квадрат времени в ускорении-то? Почему он получился?

А почему бы было не посмотреть на определение производной и не убедиться, что по-сути она - частное от двух бесконечно малых величин?

[junkhead]

epros в сообщении #625483 писал(а):

junkhead в сообщении #625182 писал(а):

И тут я подумал, а что значит этот квадрат времени в ускорении-то? Почему он получился?

А почему бы было не посмотреть на определение производной и не убедиться, что по-сути она - частное от двух бесконечно малых величин?

Вот, если я сейчас скажу, что мне не понятна эта трактовка, вы, наверное, удивитесь. Я прочёл несколько статей об определении производной, где заумным языком написано про приращение чего-от там бла бла бла малые величины и тд. Мне это ничего не дало. Пока не наткнулся на чёткое и простое пояснение, ЧТО $x^3$ растёт быстрее $x^2$. И тут мне стало ясно и понятно, что такое производная... Я не знаю, почему в учебниках не пишут подобным элементарным языком. А в учебниках по той же алгебре школьного курса, извините, авторы не углубляются в такие рассуждения, а просто дают определение и вывод. По крайней мере мне такие учебники и попадались. Потому я и попросил книгу, доходчиво объясняющую все эти вещи.

И хватит уже. Думаю, разобрались. С книгой сам разберусь.

[Утундрий]

junkhead в сообщении #625539 писал(а):

наткнулся на чёткое и простое пояснение, ЧТО $x^3$ растёт быстрее $x^2$. И тут мне стало ясно и понятно, что такое производная... Я не знаю, почему в учебниках не пишут подобным элементарным языком.

Главным образом потому, что раньше в учебниках старались не писать глупостей, вроде этой. Но времена меняются, так что просто подождите новых учебников.

[kda_ximik]

Утундрий в сообщении #625543 писал(а):

junkhead в сообщении #625539 писал(а):

наткнулся на чёткое и простое пояснение, ЧТО $x^3$ растёт быстрее $x^2$. И тут мне стало ясно и понятно, что такое производная... Я не знаю, почему в учебниках не пишут подобным элементарным языком.

Главным образом потому, что раньше в учебниках старались не писать глупостей, вроде этой. Но времена меняются, так что просто подождите новых учебников.

а разве можно при рассмотрении двух функций, например, $f(x)$ и $f'(x)$, говорить о росте обеих функций? Согласен, что $x^3$ растёт быстрее $x^2$. Но ведь в тоже время $f(x)=lnx$ растет на всей области своей области определения, а $f'(x)=1/x$ вообще убывает в области определения логарифма

[Евгений Машеров]

junkhead в сообщении #625539 писал(а):

epros в сообщении #625483 писал(а):

junkhead в сообщении #625182 писал(а):

И тут я подумал, а что значит этот квадрат времени в ускорении-то? Почему он получился?

А почему бы было не посмотреть на определение производной и не убедиться, что по-сути она - частное от двух бесконечно малых величин?

Вот, если я сейчас скажу, что мне не понятна эта трактовка, вы, наверное, удивитесь. Я прочёл несколько статей об определении производной, где заумным языком написано про приращение чего-от там бла бла бла малые величины и тд. Мне это ничего не дало. Пока не наткнулся на чёткое и простое пояснение, ЧТО $x^3$ растёт быстрее $x^2$. И тут мне стало ясно и понятно, что такое производная... Я не знаю, почему в учебниках не пишут подобным элементарным языком. А в учебниках по той же алгебре школьного курса, извините, авторы не углубляются в такие рассуждения, а просто дают определение и вывод. По крайней мере мне такие учебники и попадались. Потому я и попросил книгу, доходчиво объясняющую все эти вещи.

И хватит уже. Думаю, разобрались. С книгой сам разберусь.

Ну что ж...
Берём х, меняющееся от 0 до 0.1.
$x^2$ растёт куда быстрее, чем $x^3$ (на одну сотую, а не на одну тысячную)
Вывод. "Объяснение" ложно, ничего объяснить не может, и приведено для создания у читателя приятного чувства, что он умный и что-то понимает.
Нормальные же учебники пишутся для того, чтобы чему-то научить, а не создать иллюзию знания. Даже если плата за знание - тяжёлый труд, а не лёгкое чтение с аналогиями и "доступными примерами".

[epros]

junkhead в сообщении #625539 писал(а):

Вот, если я сейчас скажу, что мне не понятна эта трактовка, вы, наверное, удивитесь. Я прочёл несколько статей об определении производной, где заумным языком написано про приращение чего-от там бла бла бла малые величины и тд. Мне это ничего не дало.

Да уж, удивлюсь несказАнно. Я даже не знаю, как интерпретировать столь глубокий уровень непонимания. Может быть Вы школьник класса эдак 7-ого, интересующийся сверх программы "умными книжками"? Или может быть Вы - гуманитарий, который в своё время в школе "прошёл мимо" математики?

Вам попадалось такое выражение: $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$?

Или в более развёрнутой форме: $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$?

junkhead в сообщении #625539 писал(а):

И тут мне стало ясно и понятно, что такое производная...

Мдааа, и что же из этого Вам вдруг стало понятно?

[junkhead]

Евгений Машеров в сообщении #625567 писал(а):

Ну что ж...
Берём х, меняющееся от 0 до 0.1.
$x^2$ растёт куда быстрее, чем $x^3$ (на одну сотую, а не на одну тысячную)
Вывод. "Объяснение" ложно, ничего объяснить не может, и приведено для создания у читателя приятного чувства, что он умный и что-то понимает.
Нормальные же учебники пишутся для того, чтобы чему-то научить, а не создать иллюзию знания. Даже если плата за знание - тяжёлый труд, а не лёгкое чтение с аналогиями и "доступными примерами".

Ну, значит забить на математику и не заходить сюда больше. Спасибо.

[miflin]

(Оффтоп)

junkhead в сообщении #625584 писал(а):

Ну, значит забить на математику и не заходить сюда больше. Спасибо.

И Вам спасибо.

[Евгений Машеров]

epros в сообщении #625574 писал(а):

junkhead в сообщении #625539 писал(а):

Вот, если я сейчас скажу, что мне не понятна эта трактовка, вы, наверное, удивитесь. Я прочёл несколько статей об определении производной, где заумным языком написано про приращение чего-от там бла бла бла малые величины и тд. Мне это ничего не дало.

Да уж, удивлюсь несказАнно. Я даже не знаю, как интерпретировать столь глубокий уровень непонимания. Может быть Вы школьник класса эдак 7-ого, интересующийся сверх программы "умными книжками"? Или может быть Вы - гуманитарий, который в своё время в школе "прошёл мимо" математики?

Ещё третий вариант: к нам забрёл царь Гиерон, которого обидел Архимед, сказав, что "нет царского пути в геометрии". А мы тут не менее жестокосердны...