Кинетическая энергия в различных ИСО

[Munin]

anik в сообщении #625302 писал(а):

Начало системы отсчёта может быть и не связано с материальной точкой, но сама система отсчёта должна быть связана с системой материальных точек

Это кто вам сказал? Идите читайте определения в учебниках.

anik в сообщении #625302 писал(а):

Как можно определить центр масс пустоты?

А пустоты же нет. Есть наблюдатель. Соответственно, сразу возникает бесконечное количество систем отсчёта, в которых он движется с разными скоростями.

anik в сообщении #625302 писал(а):

Начало системы отсчёта может быть связано с геометрической точкой, но эта точка должна однозначно определяться через материальные точки.

Нету в физике "геометрических точек"...

[atlakatl]

Munin в сообщении #625324 писал(а):

Начало системы отсчёта может быть и не связано с материальной точкой, но сама система отсчёта должна быть связана с системой материальных точек

Это кто вам сказал? Идите читайте определения в учебниках.

ru.wikipedia.org/wiki/Система_отсчёта
Система отсчёта — это совокупность ТЕЛА ОТСЧЁТА, связанной с ним системы координат и системы отсчёта времени, по отношению к которым рассматривается движение (или равновесие) каких-либо материальных точек или тел.
Математически движение тела (или материальной точки) по отношению к выбранной системе отсчёта описывается уравнениями, которые устанавливают, как изменяются с течением времени t координаты, определяющие положение тела (точки) в этой системе отсчёта. Эти уравнения называются уравнениями движения...
В современной физике любое движение является относительным, и движение тела следует рассматривать лишь по отношению к какому-либо другому телу (телу отсчёта) или системе тел. Нельзя указать, например, как движется Луна вообще, можно лишь определить её движение, например, по отношению к Земле, Солнцу, звёздам и т. п.

------------------------
Munin, приведите СПОСОБ определения системы отсчёта наблюдателем, который находится в абсолютно пустом пространстве, и ни одного объекта на панораме неба не видно.

И, пожалуйста, не в стиле:
anik: А с чем связана система отсчёта которую "выбрали"?
Munin: А с чем захотел тот, кто выбрал. Можно взять любую.

[anik]

Munin в сообщении #625324 писал(а):

anik в сообщении #625302 писал(а):

Как можно определить центр масс пустоты?

А пустоты же нет. Есть наблюдатель. Соответственно, сразу возникает бесконечное количество систем отсчёта, в которых он движется с разными скоростями.

Вы сами пришли к тому, что наблюдатель в пустоте имеет бесконечное количество различных скоростей, другими словами, этот наблюдатель не имеет определённой скорости, а следовательно, и определённой кинетической энергии.

-- Пн окт 01, 2012 09:36:06 --

Munin в сообщении #625324 писал(а):

anik в сообщении #625302 писал(а):

Начало системы отсчёта может быть связано с геометрической точкой, но эта точка должна однозначно определяться через материальные точки.

Нету в физике "геометрических точек"...

А центр масс бублика это какая точка - материальная?
Или понятия геометрии нельзя распространять на физику?

[Munin]

atlakatl
Википомойка и учебники - вещи разные. Рекомендую никогда их не путать.

[anik]

Munin в сообщении #625668 писал(а):

atlakatl
Википомойка и учебники - вещи разные. Рекомендую никогда их не путать.

По поводу систем отсчёта могу процитировать учебник И.М. Воронков "Курс теоретической механики".
"Всякое механическое движение материальной точки или материального тела конечных размеров мы можем наблюдать и изучать только по отношению к какому-нибудь другому физическому телу, например по отношению к Земле. При этом положение наблюдаемого движущегося объекта относительно этого другого физического тела определяется в механике при помощи некоторой выбранной системой координат (большей частью системы декартовых прямоугольных координат), неизменно связанной с этим физическим телом (например, с Землёй). Система координат неизменно связанная с каким-нибудь физическим телом, относительно которого определяется положение данного движущегося объекта, называется в механике системой отсчёта.
Система отсчёта, по отношению к которой являются справедливыми основные законы классической механики, т.е. основные законы движения, установленные в точном и окончательном виде Галилеем и Ньютоном, называется инерциальной или галилеевой системой отсчёта".

[anik]

Дана изолированная система двух неподвижных между собой материальных точек $m_1$ и $m_2$. Эти точки можно привести в движение, вставив между ними сжатую и зафиксированную пружину. Если массой пружины, по сравнению с массами материальных точек, можно пренебречь, то вся потенциальная энергия пружины перейдёт в кинетическую энергию движения масс $m_1$ и $m_2$, если пружину расфиксировать.
Вопрос: зависит ли потенциальная энергия сжатой и зафиксированной пружины от выбора ИСО? Наверное, нет.
Нам предстоит выяснить, как распределится кинетическая энергия между массами, после того как пружина освободится.
Можно предположить, что одна из масс останется неподвижной, а другая придёт в движение. Но тогда, во-первых, ц.м. системы придёт в движение в сторону, куда движется движущаяся точка; во-вторых, кинетическая энергия системы будет разная, в зависимости от того какая из масс пришла в движение, большая или меньшая.
Нужно воспользоваться теоремами механики.
Силы, действующие на массы со стороны пружины, это внутренние силы в системе, и они не могут изменить суммарный импульс системы. Полагая, что суммарный импульс до взаимодействия был равен нулю, то он останется равным нулю и после взаимодействия. Отсюда следует, что $m_1v_1 = m_2v_2$. Причём, $v_1+v_2 = \dot S_{12}$, где $S_{12}$ - расстояние между точками. Решая эти два уравнения совместно, найдём:

$$v_1=\frac{m_2\dot S_{12}}{m_1+m_2};\quad v_2=\frac{m_1\dot S_{12}}{m_1+m_2}.$$

Теперь найдём кинетические энергии:

$$E_{K1}=\frac{m_1v_1^2}{2}=\frac{m_1m_2^2\dot S_{12}^2}{2(m_1+m_2)^2};$$

$$E_{K2}=\frac{m_2v_2^2}{2}=\frac{m_2m_1^2\dot S_{12}^2}{2(m_1+m_2)^2};$$

Кинетическая энергия пары масс $E_{12}=E_{K1}+E_{K2}$ будет равна:

$$E_{12}=\frac{m_1m_2\dot S_{12}^2}{2(m_1+m_2)}$$

Здесь $\dot S_{12}$ скорость, с которой материальные точки $m_1$ и $m_2$ удаляются друг от друга, когда пружина перестала действовать на эти точки.
Вот эта кинетическая энергия $E_{12}$, так же как и скорость $\dot S_{12}$, не зависит от выбора систем отсчёта.

[miflin]

anik в сообщении #625950 писал(а):

Вот эта кинетическая энергия $E_{12}$, так же как и скорость $\dot S_{12}$, не зависит от выбора систем отсчёта.

Итак, найден ещё один инвариант преобразований Галилея - кинетическая энергия.
Однако...
Ну, начнем с того, что $S_{12}=x_2-x_1$ и тогда $\dot S_{12}=v_2-v_1$

В данном случае это непринципиально - вместо явного введения знаков
используются алгебраические величины. Как по мне - последнее предпочтительнее.
Главное, получается то же выражение для кинетической энергии:

$$E_{12}=\frac{m_1m_2\dot S_{12}^2}{2(m_1+m_2)}\,\,(1)$$

Оно объявлено инвариантом на том основании, что величина $\dot S_{12}^2$$
одна и та же в разных системах отсчета.
Это так, но из этого не следует, что и левая часть инвариант. Ибо выражение (1)
несколько не похоже на выражение для кинетической энергии.
Это наглядно видно, если не прятать стыдливо скоростЯ в (1), а записать его честно:

$$E_{12}=\frac{m_1m_2(v_2-v_1)^2}{2(m_1+m_2)}\,\,(2)$$

Сравниваем с естественным

$$E_{12}=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2}\,\,(3)$$

Когда же (2) совпадает с (3)? А лишь тогда, когда выполняется

$$m_1v_1 + m_2v_2=0$$

Т.е. только в системе центра масс и никакой другой.

Сенсация не состоялась...

[Munin]

miflin в сообщении #626543 писал(а):

Это так, но из этого не следует, что и левая часть инвариант. Ибо выражение (1) несколько не похоже на выражение для кинетической энергии.

Точнее, левая часть всё-таки инвариант, но кинетической энергией, разумеется, не является.

[miflin]

Munin в сообщении #626569 писал(а):

Точнее, левая часть всё-таки инвариант, но кинетической энергией, разумеется, не является.

Точно! Что-то томило душу... :-)

[Alexandr007]

Munin в сообщении #626569 писал(а):

но кинетической энергией, разумеется, не является.

Точнее является, но только в системе центра масс, потому и инвариант.

[Munin]

Alexandr007 в сообщении #626633 писал(а):

Точнее является, но только в системе центра масс, потому и инвариант.

Ага, "цвет его глаз, если смотреть снизу-сбоку, одинаковый, откуда ни посмотреть"...

[anik]

miflin в сообщении #626543 писал(а):

Когда же (2) совпадает с (3)? А лишь тогда, когда выполняется

$$m_1v_1 + m_2v_2=0$$

Т.е. только в системе центра масс и никакой другой.

Правильно, я об этом сразу же и сказал:

anik в сообщении #625950 писал(а):

Силы, действующие на массы со стороны пружины, это внутренние силы в системе, и они не могут изменить суммарный импульс системы. Полагая, что суммарный импульс до взаимодействия был равен нулю, то он останется равным нулю и после взаимодействия. Отсюда следует, что $m_1v_1=m_2v_2$.

А почему Вас так смущает система центра масс, я не пойму?

[miflin]

anik в сообщении #626711 писал(а):

А почему Вас так смущает система центра масс, я не пойму?

Меня нисколько не смущает система центра масс (СЦМ).
Меня смущает вот этот Ваш вывод (выделено мною):

anik в сообщении #625950 писал(а):

Вот эта кинетическая энергия $E_{12}$, так же как и скорость $\dot S_{12}$, не зависит от выбора систем отсчёта.

И смущает также, что он Вас не смущает...
Да, чувак, оседлавший СЦМ, будет пользоваться формулой кинетической
энергии, которую Вы вывели.
Но почему другие чуваки, бороздящие космический океан на своих ИСО,
должны считать, что вышеприведенная формула приемлема для них?
Эта формула дает им величину чего угодно, но только не кинетической
энергии двух тел в иховых ИСО

[anik]

miflin в сообщении #626721 писал(а):

Да, чувак, оседлавший СЦМ, будет пользоваться формулой кинетической энергии, которую Вы вывели.Но почему другие чуваки, бороздящие космический океан на своих ИСО,должны считать, что вышеприведенная формула приемлема для них?Эта формула дает им величину чего угодно, но только не кинетическойэнергии двух тел в иховых ИСО

А что, мне нравится это популярное для публики изложение.
Давайте рассмотрим задачу попроще: даны две материальные точки $m_1$ и $m_2$, известно, что расстояние между этими точками $S_{12}$ не изменяется (точки неподвижны относительно друг друга), ещё мы предполагаем, что эта система не вращается в инерциальном пространстве. Требуется определить какой кинетической энергией обладает эта пара материальных точек. Мы рассматривали этот случай с нулевой кинетической энергией. Munin сказал, что нулевую кинетическую энергию тоже можно иметь.
Давайте мы сформулируем эту задачу с точки зрения чувака, находящегося в произвольной ИСО. Этот чувак обнаружит, что точки $m_1$ и $m_2$ движутся с одинаковыми скоростями $\vec v_1=\vec v_2=\vec v$. Очевидно, что скорость $\vec v$ будет иметь произвольное значение, в зависимости от того, какую ИСО "оседлает этот чувак". Но, в любой ИСО скорости $\vec v_1$ и $\vec v_2$ будут равны, и если этот чувак захочет найти скорость точек между собой (скорость одной точки относительно другой), то он должен рассмотреть векторную разность скоростей $\vec v_1$ и $\vec v_2$. Эта векторная разность будет одна и та же (в данном случае нуль), независимо от того, в какой ИСО находится чувак. Будет нулевой также кинетическая энергия пары (а не кинетическая энергия каждой точки по отдельности).
Если чувак захочет определить расстояние между двумя точками, то он должен взять разность, радиус-векторов этих точек для какого либо момента времени. Надеюсь Вы не будете возражать против того, что расстояние между точками выражается инвариантной формулой по отношению к выбору системы координат.
Вот кинетическую энергию пары материальных точек я и рассматриваю как инвариант.

[atlakatl]

anik в сообщении #626731 писал(а):

Вот кинетическую энергию пары материальных точек я и рассматриваю как инвариант.

Точнее инвариантом для всех ИСО является РАЗНОСТЬ кинетических энергий пары точек.