Задачи по алгебре (поля, векторные пространства)

[unknown]

1. Рассмотрим поле $F$, содержащее поле рациональных чисел $\mathbb Q$. Какова минимально возможная размерность $F$ как векторного пространства над $\mathbb Q$, если известно, что $F$ содержит $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$?
2. Доказать, что если $F$ - конечное поле характеристики $p$, то $F$ содержит $p^n$ элементов для некоторого натурального $n$.
3. Доказать, что для каждого натурального $n$ существует поле из $p^n$ элементов.
Не совсем понятно, как решать эти задачи. Подскажите, пожалуйста.

[nnosipov]

1. $F \supset \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ должно содержать $1$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{6}$. Достаточно доказать, что эти числа линейное независимы над $\mathbb{Q}$.
2. и 3. Это обычно доказывается на лекциях. Посмотрите конспекты и/или учебники.

[Joker_vD]

2 и без конспекта легко: $F$ будет конечномерным векторным пространством над $\mathbb Z_p$, и тут уж все, никуда не денешься.

[xmaister]

Наверное, можно ещё так: $(F,+)$- абелева группа и $p_1|\sharp F$, $p_1\ne p$ тогда существует подгруппа порядка $p_1$, откуда существует $a\in F$, т.ч. $pa\ne 0$- противоречие.

-- 30.09.2012, 19:32 --

unknown в сообщении #625242 писал(а):

1. Рассмотрим поле $F$, содержащее поле рациональных чисел $\mathbb Q$. Какова минимально возможная размерность $F$ как векторного пространства над $\mathbb Q$, если известно, что $F$ содержит $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$?

Вообще говоря $[\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\ldots ,\sqrt{p_k}):\mathbb{Q}]=2^k$, где $p_i, i=1,2,\ldots ,k$- простые