2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задачи по алгебре (поля, векторные пространства)
Сообщение30.09.2012, 16:14 
1. Рассмотрим поле $F$, содержащее поле рациональных чисел $\mathbb Q$. Какова минимально возможная размерность $F$ как векторного пространства над $\mathbb Q$, если известно, что $F$ содержит $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$?
2. Доказать, что если $F$ - конечное поле характеристики $p$, то $F$ содержит $p^n$ элементов для некоторого натурального $n$.
3. Доказать, что для каждого натурального $n$ существует поле из $p^n$ элементов.
Не совсем понятно, как решать эти задачи. Подскажите, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Задачи по алгебре (поля, векторные пространства)
Сообщение30.09.2012, 16:22 
1. $F \supset \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ должно содержать $1$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{6}$. Достаточно доказать, что эти числа линейное независимы над $\mathbb{Q}$.
2. и 3. Это обычно доказывается на лекциях. Посмотрите конспекты и/или учебники.

 
 
 
 Re: Задачи по алгебре (поля, векторные пространства)
Сообщение30.09.2012, 18:19 
2 и без конспекта легко: $F$ будет конечномерным векторным пространством над $\mathbb Z_p$, и тут уж все, никуда не денешься.

 
 
 
 Re: Задачи по алгебре (поля, векторные пространства)
Сообщение30.09.2012, 18:30 
Аватара пользователя
Наверное, можно ещё так: $(F,+)$- абелева группа и $p_1|\sharp F$, $p_1\ne p$ тогда существует подгруппа порядка $p_1$, откуда существует $a\in F$, т.ч. $pa\ne 0$- противоречие.

-- 30.09.2012, 19:32 --

unknown в сообщении #625242 писал(а):
1. Рассмотрим поле $F$, содержащее поле рациональных чисел $\mathbb Q$. Какова минимально возможная размерность $F$ как векторного пространства над $\mathbb Q$, если известно, что $F$ содержит $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$?

Вообще говоря $[\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\ldots ,\sqrt{p_k}):\mathbb{Q}]=2^k$, где $p_i, i=1,2,\ldots ,k$- простые

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group