"Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"

[alexo2]

Для любых целых $a, b$ найдется бесконечное множество таких натуральных $m, n, k, t$, что будет верно одновременное выполнение:

$a + b = c$ и
$a^m + b^n = c^k$, но несвязанное:

$a^m + b^n = a^k + b^t$ - не имеет решений.

Конечно, это справедливо для нетривиальных решений. Честно говоря, проверить по-возможности подбором решений не дошли руки... Где-то была тема (увы, не нашел) что-то типа "Гипотезы форумчан". Если что - переместите, пожалуйста...

[Батороев]

(Оффтоп)

Навевает на мысль переименовать тему "Открытые проблемы форумчан" на более информативную "Гипотезы форумчан".

[Cash]

Ерунда какая-то
Возьмем $a=1, \; b=2$
Вы утверждаете что равенство
$2^n+1=3^k$
возможно для бесконечного числа $n,k$
Гипотеза Каталана (доказанная 10 лет назад) тихо посмеивается...

[alexo2]

Я же отметил, что без тривиальных вариантов... С ними можно массу решений найти, когда основания равны 0, когда показатели 1 и т.д. и т.п.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Cash в сообщении #625044 писал(а):

Гипотеза Каталана (доказанная 10 лет назад) тихо посмеивается...

Не поминайте всуе, решить то уравнение предлагают даже в ЕГЭ-шных сборниках

[alexo2]

Поправка: "Для любых целых $a, b, c$, имеющих хотя бы один общий множитель..." - далее по тексту.
(А то неувязка с вроде бы как доказанной гипотезой Биля получается)...

[Cash]

Хорошо, давайте с общим множителем.
Берем $a=2, \; b = 4$
$2^m+2^{2n}=2^k\cdot3^k$
1.Случай $m=2n$ отметается сразу
2. $m<2n$
$2^m(1+2^{2n-m})=2^k\cdot3^k$
откуда $m=k$ и $1+2^{2n-m} = 3^k$
3. $m>2n$
$2^{2n}(1+2^{m-2n})=2^k\cdot3^k$
откуда $2n=k$ и $1+2^{m-2n} = 3^k$

Бесконечных наборов не наблюдается.

[alexo2]

Понятно.., с такими a, b, c получился тот же "Каталан". Ну, на то это и "гипотеза".
Тогда ещё условие: чтобы $b/a>2$

Вообще-то случай 1, 2, 3 - "однозначно выделяемый" и вполне определенный.

[Cash]

$a=2, b = 6$
$2^m+6^n=2^{3k}$
Всё те же, только в профиль...

Поймите, решений уравнения гипотезы Биля - их весьма немного.
Вы же смело беретесь утверждать, что их тьма.
Да еще с условием, очень-очень жестким и невесть откуда взявшимся.
Ну надо же от чего-то отталкиваться.
Вы в подтверждение своей гипотезы хотя бы привели пяток решений
$a^m + b^n = c^k$, у которых
$a+b=c$
Сомневаюсь, что сможете больше двух.

[alexo2]

Cash в сообщении #625078 писал(а):

$a=2, b = 6$
$2^m+6^n=2^{3k}$
Всё те же, только в профиль...

Поймите, решений уравнения гипотезы Биля - их весьма немного.
Вы же смело беретесь утверждать, что их тьма.
Да еще с условием, очень-очень жестким и невесть откуда взявшимся.
Ну надо же от чего-то отталкиваться.
Вы в подтверждение своей гипотезы, хотя бы привели пяток решений
$a^m + b^n = c^k$, у которых
$a+b=c$
Сомневаюсь, что сможете больше двух.

Но Вы поймите тоже - "весьма немного" - субъективная оценка. Согласен, для меня, как субъекта, тоже весьма немного, если решений будет 1 на интервале до 100 000. Однако, это все не строгие оценки, не говоря уж про доказательства. Пока же я вижу от Вас док-во того, что мое утверждение неверно для чисел приводимых к 1, 2, 3 в озвученных условиях. (И то, честно говоря Ваши выкладки не проверял - поверил на слово, что Вы правильно пришли к конечным выражениям).
Однако, Вы же не будете отрицать, что далеко не всё можно свести к пресловутому "Каталану"?
Да и хотя бы и так - получится всего лишь, что гипотеза неверна, а будет строго доказано, что это невозможно (или возможно с такими-то ограничениями)..

[Cash]

Цитата:

Пока же я вижу от Вас док-во того, что мое утверждение неверно для чисел приводимых к 1, 2, 3 в озвученных условиях

У меня не было цели свести к Каталану. Я всего лишь брал первые подходящие под ваши условия числа и показывал, что ваши гипотезы взяты с потолка.
Пока вы не объясните на чем основывается ваша гипотеза (для начала - 5 примеров!)
она всего лишь - громкий пук в лужу.

[alexo2]

Ну, гипотеза для того и гипотеза, чтобы о ней "заявлять". Хотелось бы ещё "погромче", да не получается...
Кстати, признаете, что Вы "громче", если я приведу 5 примеров?

[Cash]

Признаю и себя полным профаном, ничего не понимающим в математике.
И признаю вас гением, возвышающимся над толпой и смотрящим не на поверхность, а в самый корень.
Только приведите.
И да, сформулируйте свою гипотезу так, чтобы с Каталаном в противоречие не входила.

[alexo2]

Да ладно, проехали..., а вот сформулировать надо - это точно. Дело в том, что сейчас я на работе, пишу урывками, а продумать надо достаточно четко. Эту гипотезу я "придумал" пару лет назад, но тогда было ещё больше неопределенности - сама гипотеза Биля не была доказана, с тех пор уже позабывалось многое, хотя тогда условия вроде бы продумывал достаточно четко (как мне казалось).

-- 30.09.2012, 14:03 --

Вот так без "Каталана":

Для любых целых $a, b$, отличных от 2, имеющих общий множитель и не имеющих множителей равных 2 каждое в отдельности, существует бесконечное множество таких натуральных $m, n, k$, при которых совместно выполняется:

1. $a + b = c$
2. $a^m + b^n = c^k$

[alexo2]

Вот, "причесал":

Для любых натуральных нечетных $a, b$, имеющих общий множитель, существует бесконечное множество таких натуральных $m, n, k$, при которых совместно выполняется:

1. $a + b = c$
2. $a^m + b^n = c^k$