"Гипотеза, навеянная гипотезой Биля"

[nnosipov]

Маловероятно, что это верно: показательные уравнения имеют, как правило, конечное множество решений. Здесь мы имеем дело с показательным уравнением $a^m+b^n=(a+b)^k$, где $a$, $b$ фиксированы, а неизвестными являются $m$, $n$, $k$.

[alexo2]

nnosipov в сообщении #625180 писал(а):

Маловероятно, что это верно: показательные уравнения имеют, как правило, конечное множество решений. Здесь мы имеем дело с показательным уравнением $a^m+b^n=(a+b)^k$, где $a$, $b$ фиксированы, а неизвестными являются $m$, $n$, $k$.

Да, именно так. Как бы "все наоборот" - неизвестные - показатели степени. Маловероятно, но и не опровергнуто (пока)...
Точно.. вот такое уравнение красивее и нагляднее:
$a^m+b^n=(a+b)^k$

В таком виде формулировка не больше, чем формулировка ВТФ, кстати, (пардон, что сравниваю..)
Уж, если сравнивать:
в ВТФ все наоборот, вплоть до вывода, совпадает только количество неизвестных и констант.
Так что знаете, может даже - "очень вероятно, что верно"...
Надеюсь, что и доказать её будет достаточно просто (опять же - в противоположность ВТФ)

[Cash]

alexo2 в сообщении #625164 писал(а):

Вот, "причесал":

Для любых натуральных нечетных $a, b$, имеющих общий множитель, существует бесконечное множество таких натуральных $m, n, k$, при которых совместно выполняется:

1. $a + b = c$
2. $a^m + b^n = c^k$

Не до конца причесали.
Если вы внимательно посмотрите на опровержение, котороя я писал, то заметите, что там вместо $2$ можно поставить любое простое $p$

[alexo2]

Честно говоря и ограничение, что оба числа обязательно нечетные тоже интуитивно пока оптимизма не добавляет..
Буду проверять. По-возможности выложу свои наработки по этой теме...

[alexo2]

Получается так:
Для любых нечетных, составных, невзаимнопростых $a, b$ существует бесконечное множество таких натуральных $n, m, k$, что

$a^n + b^m = (a + b)^k$

Или более общее:

Каждое решение уравнения Биля по основаниям имеет бесконечное множество решений по показателям, а каждое решение по показателям имеет бесконечное множество решений по основаниям

[nnosipov]

alexo2 в сообщении #625603 писал(а):

Для любых нечетных, составных, невзаимнопростых $a, b$ существует бесконечное множество таких натуральных $n, m, k$, что

$a^n + b^m = (a + b)^k$

Крайне сомнительно, например, чтобы уравнение $15^n+21^m=36^k$ имело бесконечно много решений.

[alexo2]

[quote="nnosipov в [url=http://dxdy.ru/post625619.html#p625619]сообщении #625619[/url
Крайне сомнительно, например, чтобы уравнение $15^n+21^m=36^k$ имело бесконечно много решений.[/quote]

Честно говоря, пока не доказано и то, что среди решений уравнения Биля найдутся удовлетворяющие данным условиям.
Сначала бы доказать (найти хотя бы пример), что вообще существуют такие решения, а потом - что всех решений бесконечно много...

[AKM]

alexo2,

кнопка "Предпросмотр" позволяет рассмотреть сообщение, увидеть дефекты оформления (в данном случае --- цитату) и исправить их. При редактировании Вы просто откусили закрывающую кавычку и скобки тега [quote="..."].
Будьте внимательнее.