Вопрос за как решать линейных, да в частных производных

[Утундрий]

Eсть ли каких теорий для вот этого вот?

$$\frac{{\partial \vec u\left( x \right)}}{{\partial x^\mu }} = \hat A_\mu \left( x \right) \cdot \vec u\left( x \right)$$

($\mu = 1,2...n$)

[Padawan]

Я бы для начала условия полной интегрируемости проверил. А если они выполнены, то дело к обыкновенному ДУ сводится, да еще и линейному вроде!

[Утундрий]

Padawan в сообщении #625005 писал(а):

Я бы для начала условия полной интегрируемости проверил. А если они выполнены

Предположим, что выполнены (иначе не интересно)

Padawan в сообщении #625005 писал(а):

дело к обыкновенному ДУ сводится, да еще и линейному вроде

Каким образом?

[Oleg Zubelevich]

$$\frac{\partial x^j}{\partial t^k}=v^j_k(x),\quad v_k=(v_k^1,\ldots v_k^m),\quad k=1,\ldots, l,\quad x=(x^1,\ldots,x^m)$$

Условия интегрируемости $[v_i,v_n]=0$. Решение $x(t)=g^{t^1}_{v_1}\ldots g^{t^l}_{v_l}(\hat x),\quad t=(t^1,\ldots t^l)$

[Утундрий]

Oleg Zubelevich
К сожалению сия символика мне не знакома.

[Oleg Zubelevich]

если Вы не знаете, что такое коммутатор векторных полей и фазовый поток, то такие задачи Вам решать не надо

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #625141 писал(а):

если Вы не знаете, что такое коммутатор векторных полей и фазовый поток, то такие задачи Вам решать не надо

Какая странная постановка вопроса с ног на голову. На практике все происходит ровно наоборот: возникает задача, появляется интерес к ней, вследствие первых двух пунктов отыскивается подходящая теория и задача решается.

P.S. Впрочем, ваш подход - откопать где-нибудь книжицу позаумнее и полгода ее повсюду к месту и не к месту цитировать, тоже можно по-своему понять.

-- Вс сен 30, 2012 14:36:07 --

P.P.S. Нашел похожие закорючки в Обыкновенные дифференциальные уравнения, Арнольд, 2000. Вечерком гляну.

[мат-ламер]

Утундрий в сообщении #624981 писал(а):

Eсть ли каких теорий для вот этого вот?

В книгах по урматам иногда бывыает раздел по системам линейных ДУ в частных производных.

[Padawan]

Утундрий
Коль скоро система вполне интегрируема, то не важно вдоль какой кривой мы будем интегрировать уравнение от начальной точки $x_0$ (пусть для простоты $x_0=0$) до конечной точки $x$. Можно по ломаной -- сначала пройти по одной координате, потом по другой и т.д. А можно вдоль отрезка соединяющего точку $x_0$ и $x$. Зафиксируем точку $x$. Рассмотрим функцию $\vec v(t)=\vec u(tx)$, $t\in [0,1]$. Тогда

$$ \frac{d\vec v(t)}{dt}=\sum_{\mu=1}^3\frac{\partial \vec u(tx)}{\partial x^\mu}\frac{d tx^\mu}{d t}= \sum_{\mu=1}^3x^\mu\hat A_{\mu}(tx)\vec u(tx)=\sum_{\mu=1}^3x^\mu\hat A_{\mu}(tx)\vec v(t)$$

То есть обыкновенное линейное ДУ относительно $\vec v$

$$ \frac{d\vec v}{dt}=\left(\sum_{\mu=1}^3x^\mu\hat A_{\mu}(tx)\right)\cdot\vec v $$

Если решим, то найдем и $\vec u(x)=\vec v(1)$.

[Утундрий]

Padawan
Спасибо, так понятно.

[Утундрий]

Дочитал Арнольда. Очень душевно написано. И удивительно мало опечаток... Мда...

Так вот. Глянул я ещё несколько букварей и правильно ли понимаю, что единственный на сей момент универсальный метод аналитического решения

$$\frac{{d\vec v}}{{dt}} = \hat B\left( t \right) \cdot \vec v$$

это ряд Пикара

$$\vec v\left( t \right) = \left\{ {\hat 1 + \int\limits_0^t {\hat B\left( {t_1 } \right)dt_1 } + \int\limits_0^t {\hat B\left( {t_2 } \right) \cdot \int\limits_0^{t_2 } {\hat B\left( {t_1 } \right)dt_1 } dt_2 } + \int\limits_0^t {\hat B\left( {t_3 } \right) \cdot \int\limits_0^{t_3 } {\hat B\left( {t_2 } \right)} \cdot \int\limits_0^{t_2 } {\hat B\left( {t_1 } \right)dt_1 } dt_2 } dt_3 + ...} \right\} \cdot \vec v_0 $$

[Oleg Zubelevich]

это просто метод последовательных приближений (см. принцип сжимающих отображений) , используется при доказательстве теоремы существования и в нелинейных дифурах и еще много где
а методов постороения последовательностей функций, которые сходится к решению существует большое количество