Доказать неравенство

[DjD USB]

Пусть $x,y,z>0$. Докажите, что если $x^2+y^2+z^2=3\sqrt{xyz}$, то $3\sqrt{xyz}\le x+y+z\le 3$. Думаю здесь нужно использовать неравенство между средним арифметическим и геометрическим, но не знаю пока как использовать...

[ИСН]

Неравенства - зло. Бросьте это занятие.
Возьмём три тупо любые числа $a,b,c>0$. Умножим их все на $9abc\over(a^2+b^2+c^2)^2$. Очевидно, получившаяся тройка годится в качестве наших $x,y,z$. Переформулируем первое неравенство в их терминах. После упрощения получится $9 a b c < (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2)$ Ну, тут справа к каждой скобке сам бог велел применить Ваше желанное AM-GM...

-- Сб, 2012-09-29, 22:00 --

Я перемудрил с формулировкой. Новые переменные можно было не вводить. Ну да ладно.

[DjD USB]

А почему у вас строгое неравенство? А как доказать второе неравенство?

[ИСН]

Ой, ну поправьте - должно быть нестрогое на самом деле.
А второе... да примерно так же, как первое. В упрощённой формулировке, без мусора: умножим левую сторону на $9xyz\over(x^2+y^2+z^2)^2$ (ведь это тупо 1). Потом обе стороны сократить на 3 и умножить на знаменатель. Теперь опять AM-GM и ещё аналогичное неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным.

[arqady]

ИСН в сообщении #624903 писал(а):

Неравенства - зло.

Почему?

[DjD USB]

Не понятно, какую левую часть вы умножаете на свое выражение?

[ИСН]

2 arqady: хотя бы потому, что когда я смотрю на некоторые Ваши фигуры высшего пилотажа, у меня ум заходит за разум. Ну, здесь-то вроде пример простенький, так что ладно.
2 DjD USB: Левую часть неравенства $x+y+z\le3$, какую же ещё.

[DjD USB]

ИСН в сообщении #625229 писал(а):

DjD USB: Левую часть неравенства $x+y+z\le3$, какую же ещё.

Спасибо все понял . Только меня всегда удевляет как вы доперли до того, что нужно умножить на такое выражение во втором случае. Просто не понимаю, как вы догодались?

[ИСН]

Ой, ну в такой формулировке это тривиально. На что можно умножить одну сторону неравенства, чтобы оно осталось верным? На 1, других вариантов нет. Как выразить 1 с учётом условия? Вот так-то. А можно без корней? Можно. Ну вот.
(Я не так думал, конечно. Мне вовсе не было ясно, что надо именно левую часть на что-то умножить.)

[DjD USB]

ИСН в сообщении #625268 писал(а):

Ой, ну в такой формулировке это тривиально. На что можно умножить одну сторону неравенства, чтобы оно осталось верным? На 1, других вариантов нет. Как выразить 1 с учётом условия? Вот так-то. А можно без корней? Можно. Ну вот.
(Я не так думал, конечно. Мне вовсе не было ясно, что надо именно левую часть на что-то умножить.)

Все понятно . Еще раз спасибо.