2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать неравенство
Сообщение29.09.2012, 20:22 


16/03/11
844
No comments
Пусть $x,y,z>0$. Докажите, что если $x^2+y^2+z^2=3\sqrt{xyz}$, то $3\sqrt{xyz}\le x+y+z\le 3$. Думаю здесь нужно использовать неравенство между средним арифметическим и геометрическим, но не знаю пока как использовать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неровенство
Сообщение29.09.2012, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Неравенства - зло. Бросьте это занятие.
Возьмём три тупо любые числа $a,b,c>0$. Умножим их все на $9abc\over(a^2+b^2+c^2)^2$. Очевидно, получившаяся тройка годится в качестве наших $x,y,z$. Переформулируем первое неравенство в их терминах. После упрощения получится $9 a b c < (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2)$ Ну, тут справа к каждой скобке сам бог велел применить Ваше желанное AM-GM...

-- Сб, 2012-09-29, 22:00 --

Я перемудрил с формулировкой. Новые переменные можно было не вводить. Ну да ладно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неровенство
Сообщение29.09.2012, 21:06 


16/03/11
844
No comments
А почему у вас строгое неравенство? А как доказать второе неравенство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неровенство
Сообщение29.09.2012, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ой, ну поправьте - должно быть нестрогое на самом деле.
А второе... да примерно так же, как первое. В упрощённой формулировке, без мусора: умножим левую сторону на $9xyz\over(x^2+y^2+z^2)^2$ (ведь это тупо 1). Потом обе стороны сократить на 3 и умножить на знаменатель. Теперь опять AM-GM и ещё аналогичное неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неровенство
Сообщение29.09.2012, 21:41 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
ИСН в сообщении #624903 писал(а):
Неравенства - зло.

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неровенство
Сообщение29.09.2012, 21:43 


16/03/11
844
No comments
Не понятно, какую левую часть вы умножаете на свое выражение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неровенство
Сообщение30.09.2012, 15:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
2 arqady: хотя бы потому, что когда я смотрю на некоторые Ваши фигуры высшего пилотажа, у меня ум заходит за разум. :roll: Ну, здесь-то вроде пример простенький, так что ладно.
2 DjD USB: Левую часть неравенства $x+y+z\le3$, какую же ещё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неровенство
Сообщение30.09.2012, 16:39 


16/03/11
844
No comments
ИСН в сообщении #625229 писал(а):
DjD USB: Левую часть неравенства $x+y+z\le3$, какую же ещё.

Спасибо все понял :-) . Только меня всегда удевляет как вы доперли до того, что нужно умножить на такое выражение во втором случае. Просто не понимаю, как вы догодались? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неровенство
Сообщение30.09.2012, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ой, ну в такой формулировке это тривиально. На что можно умножить одну сторону неравенства, чтобы оно осталось верным? На 1, других вариантов нет. Как выразить 1 с учётом условия? Вот так-то. А можно без корней? Можно. Ну вот.
(Я не так думал, конечно. Мне вовсе не было ясно, что надо именно левую часть на что-то умножить.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неровенство
Сообщение30.09.2012, 16:57 


16/03/11
844
No comments
ИСН в сообщении #625268 писал(а):
Ой, ну в такой формулировке это тривиально. На что можно умножить одну сторону неравенства, чтобы оно осталось верным? На 1, других вариантов нет. Как выразить 1 с учётом условия? Вот так-то. А можно без корней? Можно. Ну вот.
(Я не так думал, конечно. Мне вовсе не было ясно, что надо именно левую часть на что-то умножить.)

Все понятно :-) :-) . Еще раз спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group