Преобразование Лоренца-Мёллера-Нэлсона в жёсткую систему

[В. Войтик]

Уважаемые участники форума dxdy.

Предлагаю обсудить статью
http://arxiv.org/pdf/1203.0754.pdf. Она посвящена СТО.
Мне кажется, что данная статья содержит выводы, которые будут вам интересны. Собственно вся статья посвящена одному незаслужено малоизвестному преобразованию, которое имеет смысл преобразования из лабораторной инерциальной системы отсчёта в жёсткую неинерциальную систему. Предлагаю построить общение следующим образом. Сначала поговорим о том, почему это преобразование можно считать соответствующим переходу в жёсткую систему отсчёта, а потом, если возражений не будет или когда они будут исчерпаны я буду выкладывать свои выводы.
Данное преобразование первоначально получило название обобщённого преобразования Лоренца. Я предлагаю его называть специальным преобразованием Лоренца-Мёллера-Нэлсона. Собственно вот оно
$T=\frac{\mathbf{vr}}{\sqrt{1-v^{2} } } +\int _{0}^{t}\frac{dt}{\sqrt{1-v^{2} } }$ (1),

$ \mathbf{R=r}+\frac{1-\sqrt{1-v^{2} } }{v^{2} \sqrt{1-v^{2} } } \mathbf{(vr)v}+\int _{0}^{t}\frac{\mathbf{v}dt}{\sqrt{1-v^{2} } } $ (2).
Здесь $T$, $\mathbf{R}$ соответственно время и координаты лабораторной инерциальной системы отсчёта $S$; $t$, $\mathbf{r}$ соответственно время и координаты неинерциальной системы $s$, $c=1$

Легко видеть, что для постоянной $\mathbf{v}=\operatorname{const}$ это преобразование переходит в обычное преобразование Лоренца. В случае же, когда $\mathbf{v}$ расположена вдоль оси $X$ и по величине равна
$v=\th\theta$,
это преобразование перейдёт в преобразование Мёллера
$T=xsh{\theta}+\int _{0}^{t}\ch{\theta}d\theta$, $X=xch{\theta}+\int _{0}^{t}\sh{\theta}d\theta$,
$Y=y$, $Z=z$
где
$\theta=\int_{0}^{t}Wdt$,
$W$ - собственное ускорение системы отсчёта.
Если подставить дифференциалы (1), (2) в выражение для интервала инерциальной системы в прямоугольных координатах
$ds^{2} =dT^{2} -d\mathbf{R}^{2}$ ,
то получится интервал как раз соответствующий жёсткой ускоренной с собственным ускорением $\mathbf{W}$ и вращающейся с собственной угловой скоростью $\mathbf{\Omega}$ системы отсчёта. Вот поэтому специальное преобразование ЛМН можно считать соответствующим переходу в жёсткую систему отсчёта.
Есть ли возражения?

[Шимпанзе]

Цитата:

для реальных систем отсчёта с максимальной жёсткостью.

Вы можете дать определение "жесткости системы"? Как Вы понимаете "жесткость системы", и "жесткость системы отсчета" в частности?

[В. Войтик]

Шимпанзе в сообщении #624483 писал(а):

Вы можете дать определение "жесткости системы"? Как Вы понимаете "жесткость системы", и "жесткость системы отсчета" в частности?

Определение «жёсткое» в зависимости от ситуации понимается по-разному. Меня это тоже тревожит.
Жёсткая метрика - это метрика, которая может зависеть от времени только через собственные ускорение и угловую скорость;
Жёсткое тело – тело, собственные размеры которого остаются постоянными;
или тело, размеры которого в лабораторной системе при его движении остаются постоянными
Максимально жёсткое тело – тело, в котором скорость звука совпадает со скоростью света.
Под системой отсчёта с максимальной жёсткостью я понимал систему отсчёта, точки которой связаны с максимально жёстким телом. "Жесткость системы" и "жесткость системы отсчета"? Просто слово "отсчёта" выпало

-- Сб сен 29, 2012 09:46:42 --

Ну, поскольку возражений нет перейдём к выводам.

Прежде всего выпишем собственное ускорение и угловую скорость. Они равны
$\mathbf{W}=\frac{\mathbf{\dot{v}}}{\sqrt{1-v^{2} } } +\frac{1-\sqrt{1-v^{2} } }{v^{2} (1-v^{2} )} \mathbf{(\dot{v}v)v}$,
$\mathbf{\Omega} = \mathbf{\Omega}_{T}=\frac{1-\sqrt{1-v^{2} } }{v^{2} \sqrt{1-v^{2} } }\mathbf{v\times \dot{v}}$
Нетрудно заметить, что они совпадают с давно известными значениями. $\mathbf{\Omega}$ есть частота прецессии Томаса.

Далее, если считать преобразование ЛМН истинным, то оно приводит к необходимости изменить обычное преобразование скоростей. Получается, что скорости $\mathbf{U}$ и $\mathbf{u}$
$\mathbf{U}=\frac{d\mathbf{R}}{dT}$ , $\mathbf{u}=\frac{d\mathbf{r}}{dt} $
в системах отсчёта $S$ и $s$ связаны довольно громоздким уравнением
$\mathbf{U}=\frac{(1+\mathbf{Wr)v}+\sqrt{1-v^{2} } (\mathbf{u}+\mathbf{\Omega} _{T} \times\mathbf{r})+\frac{1-\sqrt{1-v^{2} } }{v^{2} } \left[\mathbf{v}\; (\mathbf{u}+\mathbf{\Omega} _{T} \times \mathbf{r})\right]\; \mathbf{v}}{1+\mathbf{Wr+v\; (u}+\mathbf{\Omega} _{T} \times \mathbf{r})}$ .

Отсюда следует, что параметр $\mathbf{v}(t)$ входящий в это преобразование не является скоростью любой точки системы её координат. Поэтому называть этот параметр скоростью системы s вообще говоря неправильно. Оказывается, что $\mathbf{v}(t)$ является скоростью точек такой системы k сопутствующей s, что в каждый момент времени её оси совпадают с осями s , но система k не имеет собственной угловой скорости, в отличие от s. В первом приближении скорость точек системы s в S будет равна
$\mathbf{U}_{s} =\mathbf{v}+\sqrt{1-v^{2} }\mathbf{ \Omega} _{T} \times \mathbf{r}-\frac{\sqrt{1-v^{2} } (1-\sqrt{1-v^{2} } )}{v^{2} } \left[\mathbf{v(\Omega} _{T} \times \mathbf{r})\right]\mathbf{v}$

Я буду благодарен за критику.

[Шимпанзе]

В. Войтик в сообщении #624589 писал(а):

Определение «жёсткое» в зависимости от ситуации понимается по-разному. Меня это тоже тревожит.

Ошибаетесь, этот вопрос меня не тревожит. Тревожит другое, не разобравшись что есть жесткость в релятивистском понимании многие интересанты СТО занимаются эквилибристикой .

[В. Войтик]

Шимпанзе в сообщении #624618 писал(а):

Тревожит другое, не разобравшись что есть жесткость в релятивистском понимании многие интересанты СТО занимаются эквилибристикой .

В обычном релятивистском понимании жёсткая метрика вообще не зависит от времени. Вычисляем 3-мерную метрику. Она равна
$d{{l}^{2}}=d{{\mathbf{r}}^{2}}+\frac{{{\left[ (\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})d\mathbf{r} \right]}^{\,2}}}{{{(1+\mathbf{Wr})}^{2}}-{{(\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r})}^{2}}}$
Эта метрика вообще говоря меняется во времени и значит исследуемая система отсчёта – нежёсткая. Но она жёсткая радиально в смысле сохранения со временем вектора расстояния от произвольной т. А до начала системы отсчёта. Поэтому можно сохранить термин "жёсткая" имея ввиду эту радиальную жёсткость (термин epros-а).

[Munin]

Шимпанзе в сообщении #624618 писал(а):

Тревожит другое, не разобравшись что есть жесткость в релятивистском понимании многие интересанты СТО занимаются эквилибристикой .

Не многие, а всего двое: В. Войтик и Шимпанзе.

В релятивистском понимании жёсткости нет.

[В. Войтик]

Продолжу.
Можно найти обратное специальное преобразование ЛМН находя первые члены разложения по степеням $\mathbf{r}$ (или $\mathbf{L}$). В результате получаются следующие формулы
$\mathbf{v=V}-\frac{\mathbf{(Vr)\dot{V}}}{\sqrt{1-V^2}}, \mathbf{\dot{V}}=\frac{d\mathbf{V}}{dT}$

$t=\int _{0}^{T}\sqrt{1-V^{2} } dT -\left\{\frac{\mathbf{LV}}{\sqrt{1-V^{2} } } -\frac{\mathbf{(LV)(L\dot{V})}}{\sqrt{1-V^{2} } ^{\,\,3} } -\frac{\mathbf{(LV)}^{2} \mathbf{(\dot{V}V)}}{\sqrt{1-V^{2} } ^{\,\,5} } \right\}$

$\mathbf{r=L}+\frac{1-\sqrt{1-V^{2} } }{V^{2} \sqrt{1-V^{2} } } \mathbf{(LV)V}-\frac{(1-\sqrt{1-V^{2} } )^{2} (1+3\sqrt{1-V^{2} } )}{2V^{4} \sqrt{1-V^{2} } ^{\,\,5} } (\mathbf{\dot{V}V)(LV)}^{2} \mathbf{V}+\frac{(1-\sqrt{1-V^{2} } )^{2} }{2V^{2} (1-V^{2} )^{2} } \mathbf{(LV)}^{2}\mathbf{\dot{V}}-\frac{1-\sqrt{1-V^{2} } }{V^{2} \sqrt{1-V^{2} } ^{\,\,3} } \mathbf{(LV)(L\dot{V})V}$
с точностью до вторых степеней по $\mathbf{L=R}-\int _{0}^{T}\mathbf{V}dT $ включительно. Во всех формулах $\mathbf{V}$ означает скорость начала отсчёта.

Вот формулы обратного преобразования как мне кажется самое слабое место, поскольку расчёты довольно сложны и в принципе не исключены ошибки. Но вроде проверка показала правильность.

-- Сб сен 29, 2012 16:07:33 --

Munin в сообщении #624753 писал(а):

В релятивистском понимании жёсткости нет.

Ну почему же нет? Пусть собственные угловая скорость и ускорение постоянны. Вот Вам и жёсткость.

[Шимпанзе]

Munin в сообщении #624753 писал(а):

В релятивистском понимании жёсткости нет.

Совет Вам всегда один: начните физику с азов. А впрочем, оставайтесь при своем мнении. Поезд ушел, все надо делать во время.

[Утундрий]

В. Войтик
${\mathbf{v}} = {\mathbf{v}}\left( t \right)$?

[Munin]

В. Войтик в сообщении #624754 писал(а):

Ну почему же нет?

Потому что в нерелятивистской механике жёсткость - это математическая абстракция от того, как ведут себя твёрдые тела, если пренебречь их деформацией. А в релятивистской механике пренебречь ею просто никогда нельзя. Соответственно, такой абстракции нет, да и она не нужна ни для чего.

-- 29.09.2012 19:09:32 --

Шимпанзе в сообщении #624759 писал(а):

Совет Вам всегда один: начните физику с азов. А впрочем, оставайтесь при своем мнении. Поезд ушел, все надо делать во время.

Возвращаю вам каждое слово :-)

[Шимпанзе]

Munin в сообщении #624833 писал(а):

Возвращаю вам каждое слово

Еще бы...

[В. Войтик]

Утундрий в сообщении #624826 писал(а):

В. Войтик
${\mathbf{v}} = {\mathbf{v}}\left( t \right)$?

Да, от времени неинерциальной системы отсчёта. Но если потребуется, её можно выразить через более привычное лабораторное время (ну и собственную координату).

-- Сб сен 29, 2012 20:38:24 --

Munin в сообщении #624833 писал(а):

Потому что в нерелятивистской механике жёсткость - это математическая абстракция от того, как ведут себя твёрдые тела, если пренебречь их деформацией. А в релятивистской механике пренебречь ею просто никогда нельзя. Соответственно, такой абстракции нет, да и она не нужна ни для чего

Хм. Я полагаю, что нижнюю сноску на 2 странице Вы читали... Могу только ещё раз повторить, что радиально жёсткая система отсчёта может быть объектом исследования, т. к. для любого закона движения её начала отсчёта всегда можно указать такой закон движения любой её точки, что собственное расстояние между этой точкой и началом отсчёта не будет изменяться.
То есть хотя идеально твёрдых тел и нет, но для радиально жёсткой системы отсчёта они и не нужны :). Достаточно иметь рой частиц двигающихся некоторым образом с выделенной частицей - началом отсчёта, так, что расстояния сохраняются.

Если Вы имеете что-то возразить, давайте

[Munin]

В. Войтик в сообщении #624861 писал(а):

Хм. Я полагаю, что нижнюю сноску на 2 странице Вы читали...

Простите, её написали вы же. Какая разница?

В. Войтик в сообщении #624861 писал(а):

Могу только ещё раз повторить, что радиально жёсткая система отсчёта может быть объектом исследования, т. к. для любого закона движения её начала отсчёта всегда можно указать такой закон движения любой её точки, что собственное расстояние между этой точкой и началом отсчёта не будет изменяться.

А в твёрдом теле сохраняются расстояния между любыми точками, а не только между ними и одной выбранной. Иначе это не твёрдое тело, а пучок стержней.

В. Войтик в сообщении #624861 писал(а):

То есть хотя идеально твёрдых тел и нет, но для радиально жёсткой системы отсчёта они и не нужны :).

У вас путаница в голове. Не тела нужны для систем отсчёта, а системы отсчёта нужны для тел. Всегда человеческие абстракции подгоняются под реальность, которую они описывают. Твёрдых тел нету, и жёстких систем отсчёта не нужно. Нужны сопутствующие веществу системы отсчёта, и они есть.

[В. Войтик]

Munin в сообщении #624889 писал(а):

Простите, её написали вы же. Какая разница?

Да нет разницы. Мне нетрудно ответить.

Munin в сообщении #624889 писал(а):

А в твёрдом теле сохраняются расстояния между любыми точками, а не только между ними и одной выбранной. Иначе это не твёрдое тело, а пучок стержней.

А я разве определил радиально жёсткую систему отсчёта как реальное, всегда твёрдое тело? Вроде я нигде это не говорил. Из статьи:

"В этой статье система отсчёта понимается в самом раннем смысле специальной теории относительности (СТО)– как совокупность тел, покоящихся относительно наблюдателя, причём относительно друг друга (в направлении, перпендикулярном радиальному направлению от наблюдателя) эти тела не обязательно покоятся. Система координат предполагается прямоугольной. Точка, в которой покоится наблюдатель считается началом и полностью определяет все свойства жёсткой системы отсчёта".

Munin в сообщении #624889 писал(а):

Не тела нужны для систем отсчёта, а системы отсчёта нужны для тел.

Я говорил о физической реализации радиально жёсткой системы отсчёта. К примеру реализацией инерциальной системы отсчёта можно считать прямоугольный каркас, выполненный из реальных твёрдых тел. Физическая же реализация того класса систем отсчёта, о которых статья (т.е. о неинерциальной, радиально жёсткой системе отсчёта) как правило вызывает утверждение о её физической невозможности. Об этом Вы и говорили вначале, если я Вас правильно понял. Само собой, что после того как мы выяснили, что такая система отсчёта возможна, то она применяется для описания других тел.

Munin в сообщении #624889 писал(а):

Твёрдых тел нету, и жёстких систем отсчёта не нужно.

В этом я с Вами не согласен. Если такие радиально жёсткие системы отсчёта есть, то есть и объект для исследования.

Munin в сообщении #624889 писал(а):

Нужны сопутствующие веществу системы отсчёта, и они есть.

Никто и не возражает.

[Munin]

В. Войтик в сообщении #624911 писал(а):

А я разве определил радиально жёсткую систему отсчёта как реальное, всегда твёрдое тело? Вроде я нигде это не говорил.

Ну и молодец. А теперь ещё раз перечитайте сначала. Вообще в механике жёсткая система координат вводится как абстракция реального твёрдого тела. Вывод: в релятивистской механике она просто не нужна.

В. Войтик в сообщении #624911 писал(а):

Физическая же реализация того класса систем отсчёта, о которых статья (т.е. о неинерциальной, радиально жёсткой системе отсчёта) как правило вызывает утверждение о её физической невозможности. Об этом Вы и говорили вначале, если я Вас правильно понял. Само собой, что после того как мы выяснили, что такая система отсчёта возможна, то она применяется для описания других тел.

Не применяется. Просто за ненадобностью. Точка.

В. Войтик в сообщении #624911 писал(а):

В этом я с Вами не согласен. Если такие радиально жёсткие системы отсчёта есть, то есть и объект для исследования.

Объект для исследования должен быть содержателен, интересен какими-то свойствами. Не только лично вам интересен. Здесь объекта исследования нет.