Диффуры

[Andrei94]

Хочется понять -- как решать следующие диффуры, помогите плз:

1)

$(x^2+y^2+x)dx+ydy=0$

Могу написать вот что:

$(x^2+y^2)dx+d\Big(\dfrac{x^2+y^2}{2}\Big)=0$

Но как дальше? Не придумать -- $(x^2+y^2)dx$ - чей дифференциал?

2) $y^2dx-(xy+y^3)dy=0$

$y^3dy=0,25d(y^4)$

А что еще можно придумать?

[Mitrius_Math]

1) Уравнение Бернулли (см. метод вариации произвольной постоянной).

[Andrei94]

А с помощью интегрирующего множителя можно сделать?

[Pallant]

можно так записать: $\frac{dy}{dx}+y=-(x^{2}+x)\frac{1}{y}$ - это уравнение Бернулли. решается, например, заменой $y(x)=u(x)v(x)$

[Mitrius_Math]

1) Линейное ДУ 1-го порядка ($x=\varphi(y)$), метод решения тот же.

-- Сб сен 29, 2012 18:05:47 --

Andrei94 в сообщении #624796 писал(а):

А с помощью интегрирующего множителя можно сделать?

Для этого нужно знать вид этого интегрирующего множителя.

-- Сб сен 29, 2012 18:10:16 --

1) Замена $x^2+y^2=t(x)$ преобразует ДУ в уравнение с разделяющимися переменными.

[Andrei94]

Mitrius_Math в сообщении #624798 писал(а):

1)

Для этого нужно знать вид этого интегрирующего множителя.

А как его вид узнать?

Я понимаю, что это множитель $m=m(x,y)$, на который нужно домножить обе части диффура $Pdx+Qdy=0$, чтобы уравнение $mPdx+mQdy=0$ было в полных дифференциалах.

А уравнение Бернулли я умею решать, а это задача на итегр. множитель.

[Shtorm]

Andrei94, интегрирующий множитель в данном случае очень легко находится. Он равен $e^{2x}$

[Andrei94]

Shtorm в сообщении #624850 писал(а):

Andrei94, интегрирующий множитель в данном случае очень легко находится. Он равен $e^{2x}$

А как вы его нашли расскажите, пожалуйста, тоже хочу научиться находить!!!!!

[Shtorm]

Andrei94, интегрирующий множитель далеко не всегда так легко находится. Но в Вашем случае всё просто. Применяем такое свойство:

Если

$$\dfrac {\partial P/\partial y-\partial Q/\partial x}{Q}=\Phi (x)$$

то

$$\ln m = \int \Phi (x)dx$$

где $m$ - это искомый интегрирующий множитель. Есть ещё одна подобная формула для случая, когда дробь даёт функцию зависящую от $y$.

[Andrei94]

Shtorm в сообщении #624867 писал(а):

Andrei94, интегрирующий множитель далеко не всегда так легко находится. Но в Вашем случае всё просто. Применяем такое свойство:

Если

$$\dfrac {\partial P/\partial y-\partial Q/\partial x}{Q}=\Phi (x)$$

то

$$\ln m = \int \Phi (x)dx$$

где $m$ - это искомый интегрирующий множитель. Есть ещё одна подобная формула для случая, когда дробь даёт функцию зависящую от $y$.

Спасибо, но я кое-чего не до конца понял.

(вот предварительные вычисления)

Пусть у нас есть уравнение.

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

$\dfrac{\partial M}{\partial y}\ne \dfrac{\partial N}{\partial x}$

Тогда мы ищем интегрирующий множитель $m=m(x,y)$

$m(x,y)M(x,y)dx+m(x,y)N(x,y)dy=0$ Причем выбираем так, чтобы

$\dfrac{\partial (M\cdot m(x,y))}{\partial y}= \dfrac{\partial (N\cdot m(x,y))}{\partial x}$

$M\dfrac{\partial m}{\partial y}+m\dfrac{\partial M}{\partial y} =N\dfrac{\partial m}{\partial x}+m\dfrac{\partial N}{\partial x}$

1) Если $m=m(x)$

$m\dfrac{\partial M}{\partial y} =N\dfrac{\partial m}{\partial x}+m\dfrac{\partial N}{\partial x}$

$\dfrac{\partial m}{\partial x}=\dfrac{m\dfrac{\partial M}{\partial y}-m\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}$

$\dfrac{\partial \ln m}{\partial x}=\dfrac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}$

2) Если $m=m(y)$

$M\dfrac{\partial m}{\partial y}+m\dfrac{\partial M}{\partial y} =m\dfrac{\partial N}{\partial x}$

$\dfrac{\partial m}{\partial y}=\dfrac{m\dfrac{\partial N}{\partial x}-m\dfrac{\partial M}{\partial y}}{N}$

$\dfrac{\partial \ln m}{\partial y}=\dfrac{\dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y}}{N}$

Вопрос вот в чем -- почему из того, что $\dfrac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}=\Phi(x)$ следует, что $m=m(x)$ ?

[Shtorm]

Потому что мы интегрируем функцию, зависящую только от x по dx

-- Сб сен 29, 2012 21:27:00 --

Вы наверное хотели спросить, почему функция $\Phi$ будет зависеть только от х??? Так вот если она будет зависеть и от y тоже, то в общем случае интегрирующий множитель не получится подобрать так просто.

[Andrei94]

Shtorm в сообщении #624915 писал(а):

Потому что мы интегрируем функцию, зависящую только от x по dx

-- Сб сен 29, 2012 21:27:00 --

Вы наверное хотели спросить, почему функция $\Phi$ будет зависеть только от х??? Так вот если она будет зависеть и от y тоже, то в общем случае интегрирующий множитель не получится подобрать так просто.

Ну я это понял, в конкретной задаче - можно проверить -- зависит ли $\Phi$ только от $x$ или нет .

Я не понял -- почему из $\dfrac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}=\Phi(x)$

следует то, что $m=m(x)$

Да, если $m=m(x)\;\;\Rightarrow \;\;\dfrac{\partial \ln m}{\partial x}=\dfrac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}=\Phi$, если $\Phi=\Phi(x)$, тогда можно проинтегрировать. Я не понял в другую сторону следствие

[Shtorm]

Итак, если

$$\dfrac{\partial \ln m}{\partial x}=\Phi(x)$$

то

$$\ln m=\int \Phi(x)dx$$

следовательно

$$m=m(x)$$