2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Диффуры
Сообщение29.09.2012, 16:48 


22/11/11
380
Хочется понять -- как решать следующие диффуры, помогите плз:

1)

$(x^2+y^2+x)dx+ydy=0$

Могу написать вот что:

$(x^2+y^2)dx+d\Big(\dfrac{x^2+y^2}{2}\Big)=0$

Но как дальше? Не придумать -- $(x^2+y^2)dx$ - чей дифференциал?

2) $y^2dx-(xy+y^3)dy=0$

$y^3dy=0,25d(y^4)$

А что еще можно придумать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры
Сообщение29.09.2012, 17:00 


22/05/09

685
1) Уравнение Бернулли (см. метод вариации произвольной постоянной).

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры
Сообщение29.09.2012, 17:01 


22/11/11
380
А с помощью интегрирующего множителя можно сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры
Сообщение29.09.2012, 17:03 


10/09/12
52
можно так записать: $\frac{dy}{dx}+y=-(x^{2}+x)\frac{1}{y}$ - это уравнение Бернулли. решается, например, заменой $y(x)=u(x)v(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры
Сообщение29.09.2012, 17:03 


22/05/09

685
1) Линейное ДУ 1-го порядка ($x=\varphi(y)$), метод решения тот же.

-- Сб сен 29, 2012 18:05:47 --

Andrei94 в сообщении #624796 писал(а):
А с помощью интегрирующего множителя можно сделать?


Для этого нужно знать вид этого интегрирующего множителя.

-- Сб сен 29, 2012 18:10:16 --

1) Замена $x^2+y^2=t(x)$ преобразует ДУ в уравнение с разделяющимися переменными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры
Сообщение29.09.2012, 17:24 


22/11/11
380
Mitrius_Math в сообщении #624798 писал(а):
1)

Для этого нужно знать вид этого интегрирующего множителя.


А как его вид узнать?

Я понимаю, что это множитель $m=m(x,y)$, на который нужно домножить обе части диффура $Pdx+Qdy=0$, чтобы уравнение $mPdx+mQdy=0$ было в полных дифференциалах.

А уравнение Бернулли я умею решать, а это задача на итегр. множитель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры
Сообщение29.09.2012, 19:01 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Andrei94, интегрирующий множитель в данном случае очень легко находится. Он равен $e^{2x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры
Сообщение29.09.2012, 19:26 


22/11/11
380
Shtorm в сообщении #624850 писал(а):
Andrei94, интегрирующий множитель в данном случае очень легко находится. Он равен $e^{2x}$


А как вы его нашли расскажите, пожалуйста, тоже хочу научиться находить!!!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры
Сообщение29.09.2012, 19:42 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Andrei94, интегрирующий множитель далеко не всегда так легко находится. Но в Вашем случае всё просто. Применяем такое свойство:

Если $$\dfrac {\partial P/\partial y-\partial Q/\partial x}{Q}=\Phi (x)$$
то $$\ln m = \int \Phi (x)dx$$

где $m$ - это искомый интегрирующий множитель. Есть ещё одна подобная формула для случая, когда дробь даёт функцию зависящую от $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры
Сообщение29.09.2012, 20:59 


22/11/11
380
Shtorm в сообщении #624867 писал(а):
Andrei94, интегрирующий множитель далеко не всегда так легко находится. Но в Вашем случае всё просто. Применяем такое свойство:

Если $$\dfrac {\partial P/\partial y-\partial Q/\partial x}{Q}=\Phi (x)$$
то $$\ln m = \int \Phi (x)dx$$

где $m$ - это искомый интегрирующий множитель. Есть ещё одна подобная формула для случая, когда дробь даёт функцию зависящую от $y$.


Спасибо, но я кое-чего не до конца понял.

(вот предварительные вычисления)

Пусть у нас есть уравнение.

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

$\dfrac{\partial M}{\partial y}\ne \dfrac{\partial N}{\partial x}$

Тогда мы ищем интегрирующий множитель $m=m(x,y)$

$m(x,y)M(x,y)dx+m(x,y)N(x,y)dy=0$ Причем выбираем так, чтобы

$\dfrac{\partial (M\cdot m(x,y))}{\partial y}= \dfrac{\partial (N\cdot m(x,y))}{\partial x}$

$M\dfrac{\partial m}{\partial y}+m\dfrac{\partial M}{\partial y} =N\dfrac{\partial m}{\partial x}+m\dfrac{\partial N}{\partial x}$

1) Если $m=m(x)$

$m\dfrac{\partial M}{\partial y} =N\dfrac{\partial m}{\partial x}+m\dfrac{\partial N}{\partial x}$

$\dfrac{\partial m}{\partial x}=\dfrac{m\dfrac{\partial M}{\partial y}-m\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}$

$\dfrac{\partial \ln m}{\partial x}=\dfrac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}$

2) Если $m=m(y)$

$M\dfrac{\partial m}{\partial y}+m\dfrac{\partial M}{\partial y} =m\dfrac{\partial N}{\partial x}$

$\dfrac{\partial m}{\partial y}=\dfrac{m\dfrac{\partial N}{\partial x}-m\dfrac{\partial M}{\partial y}}{N}$

$\dfrac{\partial \ln m}{\partial y}=\dfrac{\dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y}}{N}$


Вопрос вот в чем -- почему из того, что $\dfrac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}=\Phi(x)$ следует, что $m=m(x)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры
Сообщение29.09.2012, 21:17 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Потому что мы интегрируем функцию, зависящую только от x по dx

-- Сб сен 29, 2012 21:27:00 --

Вы наверное хотели спросить, почему функция $\Phi$ будет зависеть только от х??? Так вот если она будет зависеть и от y тоже, то в общем случае интегрирующий множитель не получится подобрать так просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры
Сообщение29.09.2012, 22:06 


22/11/11
380
Shtorm в сообщении #624915 писал(а):
Потому что мы интегрируем функцию, зависящую только от x по dx

-- Сб сен 29, 2012 21:27:00 --

Вы наверное хотели спросить, почему функция $\Phi$ будет зависеть только от х??? Так вот если она будет зависеть и от y тоже, то в общем случае интегрирующий множитель не получится подобрать так просто.


Ну я это понял, в конкретной задаче - можно проверить -- зависит ли $\Phi$ только от $x$ или нет .

Я не понял -- почему из $\dfrac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}=\Phi(x)$

следует то, что $m=m(x)$

Да, если $m=m(x)\;\;\Rightarrow \;\;\dfrac{\partial \ln m}{\partial x}=\dfrac{\dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}}{N}=\Phi$, если $\Phi=\Phi(x)$, тогда можно проинтегрировать. Я не понял в другую сторону следствие

 Профиль  
                  
 
 Re: Диффуры
Сообщение29.09.2012, 22:21 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Итак, если
$$\dfrac{\partial \ln m}{\partial x}=\Phi(x)$$

то
$$\ln m=\int \Phi(x)dx$$

следовательно
$$m=m(x)$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group