Многоугольник с целыми сторонами и диагоналями

[Nikolai Moskvitin]

Добрый, добрый вечер!

Верно ли, что не для любого числа сторон многоугольника и его стороны, и его диагонали могут быть целыми числами?

Предположим, что существует четырёхугольник с целыми сторонами, диагоналями и целыми координатами своих вершин. (Будем считать многоугольник выпуклым). Пусть он будет обозначаться$ ABCD$. Добавим точку $E$, так, чтобы $EA$, $EB$,$ EC$ и $ED$ были целыми.
Составим систему уравнений:
$(x_5-x_1)^2+(y_5-y_1)^2={r_1}^2$(1)
$(x_5-x_2)^2+(y_5-y_2)^2={r_2}^2$(2)
$(x_5-x_3)^2+(y_5-y_3)^2={r_3}^2$(3)
$(x_5-x_4)^2+(y_5-y_4)^2={r_4}^2$(4)

Составим эквивалентную систему, вычтя (2) из (1), (3) из (2), (4) из (3), (1) из (4):

$(x_2-x_1)(2x_5-x_2-x_1)+(y_2-y_1)(2y_5-y_2-y_1)={r_2}^2-{r_1}^2$(1)

и аналогичные (2), (3), (4).

Пусть $x_1=kr_1$, $x_2=mr_2$. Тогда можно выбрать такие координаты $x_5$, $y_5$, что расстояния будут целыми.

Далее, может быть, можно обобщить?

С уважением, Николай

[alcoholist]

Nikolai Moskvitin в сообщении #624468 писал(а):

Добавим точку $E$, так, чтобы $EA$, $EB$,$ EC$ и $ED$ были целыми.

почему такая точка найдется?

[Nikolai Moskvitin]

alcoholist в сообщении #624477 писал(а):

почему такая точка найдется?

Я пытаюсь сконструировать пример, т.е. пытаюсь доказать от противного.

Может, взять все $x_1$ и x_2 с одинаковыми коэффициентами (т.е. $x_1=kr_1$, $x_2=kr_2$), аналогично $y_1=mr_1$, $x_1=mr_2$, и т.п. Пока что я ещё ничего не доказал.
Пришёл к уравнению вида $2kx_5+2my_5=(r_1+r_2)(1+m+k)$. Я пытаюсь доказать хотя бы для пятиугольника. Может, просто решить это диофантово уравнение (вначале проигнорировав замену, сделанную для $r_1$ и$ r_2$?

С уважением, Николай

[Cash]

Могу ошибаться, но при построении пятиугольника в качестве базового четырехугольника я бы попробовал ромб
$(-a,0) \; (0,b) \; (a,0)\; (0,-b)$, где $a$ и $b$ - катеты пифагоровых треугольников. Сейчас от вычислительных средств далеко, но навскидку должна быть точка. Может и не этим способом, но пятиугольник существовать должен точно. К тому же можно отказаться от целочисленных координат - весьма жесткое ограничение.

[venco]

Cash в сообщении #624559 писал(а):

Может и не этим способом, но пятиугольник существовать должен точно.

Существует и шестиугольник. А вот дальше что-то не придумывается.

Cash в сообщении #624559 писал(а):

К тому же можно отказаться от целочисленных координат - весьма жесткое ограничение.

Это точно. Хотя пятиугольник, по крайней мере невыпуклый, получается и с таким ограничением.