Добрый, добрый вечер!
Верно ли, что не для любого числа сторон многоугольника и его стороны, и его диагонали могут быть целыми числами?
Предположим, что существует четырёхугольник с целыми сторонами, диагоналями и целыми координатами своих вершин. (Будем считать многоугольник выпуклым). Пусть он будет обозначаться

. Добавим точку

, так, чтобы

,

,

и

были целыми.
Составим систему уравнений:

(1)

(2)

(3)

(4)
Составим эквивалентную систему, вычтя (2) из (1), (3) из (2), (4) из (3), (1) из (4):

(1)
и аналогичные (2), (3), (4).
Пусть

,

. Тогда можно выбрать такие координаты

,

, что расстояния будут целыми.
Далее, может быть, можно обобщить?
С уважением, Николай