Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел

[vicvolf]

Сделаю некоторые уточнения.

Усредненные количественные оценки некоторых кортежей чисел на больших интервалах ПСВ и простых чисел
В работе рассматриваются усредненные количественные оценки числа кортежей из k чисел на больших интервалах (стремящихся к бесконечности) в последовательности ПСВ и простых чисел. В частности рассматривается асимптотическая средняя плотность числа кортежей из k чисел на больших интервалах, стремящихся к бесконечности. (Не путать с локализованной плотностью на малых интервалах, стремящихся к 0.)
Рассмотрим приведенную систему вычетов по модулю m=\prod_{i=1}^{r}{p_i}} - ПСВ(m), где p_i - простое число с номером i.
Назовем кортежами чисел последовательно расположенные вычеты в ПСВ(m). Рассмотрим кортежи, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:
$N_k(m)=A_k\prod_{p>k}(p-k); p\mid m$ (1).
Примером таких кортежей для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов в ПСВ(m)
определяется по формуле:
$N_2(m)=(3-2)(5-2)....(p_r-2)= \prod_{p>2}(p-2); p\mid m$ (2).
Другим примером таких кортежей для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких кортежей в ПСВ(m) определяется по формуле:
$N_4(m)=\frac {4} {3} (5-2)....(p_r-2)= \frac {4} {3}\prod_{p>4}(p-4); p\mid m$ (3).
Число вычетов для кортежей в ПСВ(m) взято из темы vorvalm "Бесконечность простых близнецов".

Средняя плотность вычетов указанных кортежей в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:
$P_k(m)=N_k(m)/m=A_k \prod_{p>k}(p-k)/ \prod_{p \geq 2} p=A_k\prod_{p>k}(1-\frac {k} {p})/\prod_{2\leq k} {p}$ (4), где $p\mid m$.

Определим асимптотику числа указанных кортежей чисел в последовательности в ПСВ(m).

Теорема 1
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k t} }} {\pi_{km}(x)}}=1$, где $\pi_{km}(x)$ - число указанных кортежей из k чисел не более действительного x в ПСВ(m).

Доказательство
Рассмотрим $P_{km}(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{2\leq k} {p}$.
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение $\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p})$:
$ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=\sum_{k+1 \leq p\leq x} {ln(1-\frac {k} {p}})= -k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(\frac {1} {p})-k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(1/2p^2+1/3p^3+...)$.
Используем формулу:
$\sum_{p \leq x}{(\frac {1} {p})=\sum_{p\leq k}}(\frac {1} {p})+\sum_{k+1 \leq p\leq x}}{(\frac {1} {p})=M+lnln(x)+O(1/lnx)$, где М-постоянная Мертенса.
Получаем:
$ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=C_{1k}-klnlnx+C_{2k}/lnx+o(1/lnx)$.
Потенциируем и получаем:
$\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) = e^{C_{1k}}(1+o(1)) {ln^k(x)})) /ln^k(x)$.
Следовательно,
$\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) \sim C_{3k}/ln^k x$ (5).
Поэтому из формулы (4) получаем асимптотическую среднюю плотность указанных кортежей в ПСВ(m):
$P_{km}(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{2 \leq k}{p}\sim A_k \cdot C_{3k}/ln^k x \prod_{2\leq k}{p}=C_{km}/ln^k x (6), где C_{km}=A_k \cdot C_{3k}/\prod_{2\leq k} {p}$.
Число кортежей из k чисел в ПСВ на интервале от k+1 до достаточно большого x, на котором определена асимптотическая средняя плотность, определяется по формуле:
$\pi_{km}(x)=\int_{k+1}^{x}{P_{km}(t)dt}$. (6.1)
На основании формулы (6.1):
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k t} }} {\pi_{km}(x)}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k t} }} {\int_{k+1}^{x}{P_{km}(t)dt}}$. (6.2)
Рассмотрим (6.2).
Числитель и знаменатель данного выражения являются функциями верхнего предела интегрирования, поэтому на основании теоремы о производной от определенного интеграла по переменному верхнему пределу производная от такой функции существует и равна подынтегральной функции, где в качестве переменной находится верхний предел.
Поэтому на основании правила Лопиталя и определения асимптотического равенства:
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k t} }} {\int_{k+1}^{x}{P_{km}(t)dt}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {(C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k t} })'_x} {(\int_{k+1}^{x}{P_{km}(t)dt})'_x}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}/ln^k t} {P_{km}(t)}}=1$ (7) или $\pi_{km}(x) \sim C_{km}\int_{k+1}}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}$ (8). ч.т.д.

Продолжение следует.

[shwedka]

vicvolf в сообщении #623653 писал(а):

Назовем кортежами чисел

начиная с этого места, не годится. Пишите: назовем кортежами вычетов.... И не подменяйте потом числами.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #623712 писал(а):

vicvolf в сообщении #623653 писал(а):

Назовем кортежами чисел

начиная с этого места, не годится. Пишите: назовем кортежами вычетов.... И не подменяйте потом числами.

Согласен.
Усредненные количественные оценки некоторых кортежей чисел на больших интервалах ПСВ и простых чисел
В работе рассматриваются усредненные количественные оценки числа кортежей из k чисел на больших интервалах (стремящихся к бесконечности) в последовательности ПСВ и простых чисел. В частности рассматривается асимптотическая средняя плотность числа кортежей из k чисел на больших интервалах, стремящихся к бесконечности. (Не путать с локализованной плотностью на малых интервалах, стремящихся к 0.)
Рассмотрим приведенную систему вычетов по модулю m=\prod_{i=1}^{r}{p_i}} - ПСВ(m), где p_i - простое число с номером i.
Назовем кортежами чисел последовательно расположенные вычеты в ПСВ(m). Рассмотрим кортежи, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:
$N_k(m)=A_k\prod_{p>k}(p-k); p\mid m$ (1).
Примером таких кортежей для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов в ПСВ(m)
определяется по формуле:
$N_2(m)=(3-2)(5-2)....(p_r-2)= \prod_{p>2}(p-2); p\mid m$ (2).
Другим примером таких кортежей для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких кортежей в ПСВ(m) определяется по формуле:
$N_4(m)=\frac {4} {3} (5-2)....(p_r-2)= \frac {4} {3}\prod_{p>4}(p-4); p\mid m$ (3).
Число вычетов для кортежей в ПСВ(m) взято из темы vorvalm "Бесконечность простых близнецов".

Средняя плотность вычетов указанных кортежей в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:
$P_k(m)=N_k(m)/m=A_k \prod_{p>k}(p-k)/ \prod_{p \geq 2} p=A_k\prod_{p>k}(1-\frac {k} {p})/\prod_{2\leq k} {p}$ (4), где $p\mid m$.

Определим асимптотику числа указанных кортежей вычетов в последовательности в ПСВ(m).

Теорема 1
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k t} }} {\pi_{km}(x)}}=1$, где $\pi_{km}(x)$ - число указанных кортежей из k вычетов не более действительного x в ПСВ(m).

Доказательство
Рассмотрим $P_{km}(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{2\leq k} {p}$.
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение $\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p})$:
$ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=\sum_{k+1 \leq p\leq x} {ln(1-\frac {k} {p}})= -k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(\frac {1} {p})-k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(1/2p^2+1/3p^3+...)$.
Используем формулу:
$\sum_{p \leq x}{(\frac {1} {p})=\sum_{p\leq k}}(\frac {1} {p})+\sum_{k+1 \leq p\leq x}}{(\frac {1} {p})=M+lnln(x)+O(1/lnx)$, где М-постоянная Мертенса.
Получаем:
$ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=C_{1k}-klnlnx+C_{2k}/lnx+o(1/lnx)$.
Потенциируем и получаем:
$\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) = e^{C_{1k}}(1+o(1)) {ln^k(x)})) /ln^k(x)$.
Следовательно,
$\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) \sim C_{3k}/ln^k x$ (5).
Поэтому из формулы (4) получаем асимптотическую среднюю плотность указанных кортежей вычетов в ПСВ(m):
$P_{km}(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{2 \leq k}{p}\sim A_k \cdot C_{3k}/ln^k x \prod_{2\leq k}{p}=C_{km}/ln^k x (6), где C_{km}=A_k \cdot C_{3k}/\prod_{2\leq k} {p}$.
Число кортежей из k вычетов в ПСВ на интервале от k+1 до достаточно большого x, на котором определена асимптотическая средняя плотность, определяется по формуле:
$\pi_{km}(x)=\int_{k+1}^{x}{P_{km}(t)dt}$. (6.1)
На основании формулы (6.1):
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k t} }} {\pi_{km}(x)}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k t} }} {\int_{k+1}^{x}{P_{km}(t)dt}}$. (6.2)
Рассмотрим (6.2).
Числитель и знаменатель данного выражения являются функциями верхнего предела интегрирования, поэтому на основании теоремы о производной от определенного интеграла по переменному верхнему пределу производная от такой функции существует и равна подынтегральной функции, где в качестве переменной находится верхний предел.
Поэтому на основании правила Лопиталя и определения асимптотического равенства:
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k t} }} {\int_{k+1}^{x}{P_{km}(t)dt}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {(C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k t} })'_x} {(\int_{k+1}^{x}{P_{km}(t)dt})'_x}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}/ln^k t} {P_{km}(t)}}=1$ (7) или $\pi_{km}(x) \sim C_{km}\int_{k+1}}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}$ (8). ч.т.д.

Продолжение следует.

[shwedka]

vicvolf в сообщении #623721 писал(а):

Согласен.
Усредненные количественные оценки некоторых кортежей чисел на больших интервалах ПСВ и простых чисел

Согласия не видно!
Слово 'чисел' в тексте не должно появляться ни разу, пока Вы не сформулируете и не докажете обещанное утверждение о связи распределения кортежей вычетов и распределения чисел.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #623733 писал(а):

vicvolf в сообщении #623721 писал(а):

Согласен.
Усредненные количественные оценки некоторых кортежей чисел на больших интервалах ПСВ и простых чисел

Согласия не видно!
Слово 'чисел' в тексте не должно появляться ни разу, пока Вы не сформулируете и не докажете обещанное утверждение о связи распределения кортежей вычетов и распределения чисел.

Название и введение относится ко всей работе, в том числе и к кортежам среди простых чисел. Далее идет первая часть работы, относящаяся к кортежам в ПСВ. В этой части я все изменения сделал. Кстати в первый раз Вы попросили сделать изменения именно в этой части.

-- 26.09.2012, 21:03 --

shwedka в сообщении #623712 писал(а):

vicvolf в сообщении #623653 писал(а):

Назовем кортежами чисел

начиная с этого места, не годится. Пишите: назовем кортежами вычетов.... И не подменяйте потом числами.

[shwedka]

vicvolf в сообщении #623721 писал(а):

Назовем кортежами чисел последовательно расположенные вычеты

Слово 'чисел' здесь недопустимо

[AKM]

vicvolf в сообщении #623721 писал(а):

$klnln x$

vicvolf,

ещё раз напоминаю Вам о Правилах форума. Процитированное --- неприлично. Сравните:
$k\ln\ln x$

И при наборе формул Вас об этом предупреждают!

Вы знакомы с этой темой и делаете всё, чтобы там оказаться?

-- 27 сен 2012, 00:00 --

Советую также принять на вооружение это (выделенные нумерованые формулы). Хотя бы из тех соображений, что участники читают и анализируют Ваши тексты.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #623776 писал(а):

vicvolf в сообщении #623721 писал(а):

Назовем кортежами чисел последовательно расположенные вычеты

Слово 'чисел' здесь недопустимо

Спасибо! Завтра подправлю!
АКМ Хорошо. учту!

[vicvolf]

Полная цитата предыдущего сообщения удалена за полной ненадобностию.

Усредненные количественные оценки некоторых кортежей чисел на больших интервалах ПСВ и простых чисел
В работе рассматриваются усредненные количественные оценки числа кортежей из k чисел на больших интервалах (стремящихся к бесконечности) в последовательности ПСВ и простых чисел. В частности рассматривается асимптотическая средняя плотность числа кортежей из k чисел на больших интервалах, стремящихся к бесконечности. (Не путать с локализованной плотностью на малых интервалах, стремящихся к 0.)
Рассмотрим приведенную систему вычетов по модулю $m=\prod_{i=1}^{r}{p_i}}$ - ПСВ(m), где $p_i$ - простое число с номером i.
Назовем кортежами вычетов последовательно расположенные вычеты в ПСВ(m). Рассмотрим кортежи, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:

$$N_k(m)=A_k\prod_{p>k}(p-k); p\mid m \eqno (1)$$

Примером таких кортежей для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов в ПСВ(m)
определяется по формуле:

$$N_2(m)=(3-2)(5-2)....(p_r-2)= \prod_{p>2}(p-2); p\mid m \eqno (2)$$

Другим примером таких кортежей для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких кортежей в ПСВ(m) определяется по формуле:

$$N_4(m)=\frac {4} {3} (5-2)....(p_r-2)= \frac {4} {3}\prod_{p>4}(p-4); p\mid m \eqno (3)$$

Число вычетов для кортежей в ПСВ(m) взято из темы vorvalm "Бесконечность простых близнецов".

Средняя плотность вычетов указанных кортежей в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:

$$P_k(m)=N_k(m)/m=A_k \prod_{p>k}(p-k)/ \prod_{p \geq 2} p=A_k\prod_{p>k}(1-\frac {k} {p})/\prod_{2\leq k} {p},\eqno(4)$$

где $p\mid m$.

Определим асимптотику числа указанных кортежей вычетов в последовательности в ПСВ(m).

Теорема 1
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} { \ln^k t} }} {\pi_{km}(x)}}=1$, где $\pi_{km}(x)$ - число указанных кортежей из k вычетов не более действительного x в ПСВ(m).

Доказательство
Рассмотрим $P_{km}(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{2\leq k} {p}$.
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение $\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p})$:

$$ \ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=\sum_{k+1 \leq p\leq x} { \ln(1-\frac {k} {p}})= -k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(\frac {1} {p})-k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(1/2p^2+1/3p^3+...)$$

Используем формулу:

$$\sum_{p \leq x}{(\frac {1} {p})=\sum_{p\leq k}}(\frac {1} {p})+\sum_{k+1 \leq p\leq x}}{(\frac {1} {p})=M+\ln \ln(x)+O(1/lnx)$$

, где М-постоянная Мертенса.
Получаем:

$$\ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=C_{1k}-k \lnx \lnx+C_{2k}/lnx+o(1/lnx)$$

AKM:

Ваши \lnx пропадают: нет такой команды в ЛаТеХе. Правильно \ln x, \sin x, etc --- после команды пробел (или другая не_буква).
Ваша предыдущая формула в моей редакции (зацените потрясающие скобочки!):

$$\color{blue}\ln\left(\prod_{k+1 \leq p\leq x}\left(1-\frac {k} {p}\right)\right)=C_{1k}-k \underbrace{\ln x \ln x}_{\ln\ln x\color{red}?}+C_{2k}/\ln x+o(1/\ln x)$$

Потенциируем и получаем:

$$\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) = e^{C_{1k}}(1+o(1)) / ln^k(x)$$

Следовательно,

$$\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) \sim C_{3k}/ \ln^k x \eqno (5)$$

Поэтому из формулы (4) получаем асимптотическую среднюю плотность указанных кортежей вычетов в ПСВ(m):

$$P_{km}(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{2 \leq k}{p}\sim A_k \cdot C_{3k}/ \ln^k x \prod_{2\leq k}{p}=C_{km}/ \ln^k x\eqno (6)$$

, где $C_{km}=A_k \cdot C_{3k}/\prod_{2\leq k} {p}$.
Число кортежей из k вычетов в ПСВ на интервале от k+1 до достаточно большого x, на котором определена асимптотическая средняя плотность, определяется по формуле:

$$\pi_{km}(x)=\int_{k+1}^{x}{P_{km}(t)dt} \eqno (6.1)$$

На основании формулы (6.1):

$$ \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {\ln^k t} }} {\pi_{km}(x)}}= \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} { \ln^k t} }} {\int_{k+1}^{x}{P_{km}(t)dt}} \qquad \eqno (6.2)$$

Рассмотрим (6.2).
Числитель и знаменатель данного выражения являются функциями верхнего предела интегрирования, поэтому на основании теоремы о производной от определенного интеграла по переменному верхнему пределу производная от такой функции существует и равна подынтегральной функции, где в качестве переменной находится верхний предел.
Поэтому на основании правила Лопиталя и определения асимптотического равенства:

$$ \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} { \ln^k t} }} {\int_{k+1}^{x}{P_{km}(t)dt}}= \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {(C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} { \ln^k t} })'_x} {(\int_{k+1}^{x}{P_{km}(t)dt})'_x}= \lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}/ \ln^k t} {P_{km}(t)}}=1 \qquad\eqno (7)$$

или

$$\pi_{km}(x) \sim C_{km}\int_{k+1}}^{x}{\frac {dt} { \ln^k t}} \eqno (8)$$

ч.т.д.

Продолжение следует.

AKM:

Исправил "\egno" на "\eqno" =eq(uation) nomer.

[vorvalm]

Мне кажется, что доказательство асимптотики средней плотности
занимает очень много места и отвлекает от основного вашего доказательства.
Ведь вывод тривиален.
Не лучше ли сослаться на К.Прахара.
Или вы хотите показать, что в совершенстве владеете
методами алгебраических преобразований?

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #623865 писал(а):

AKM:

Исправил "\egno" на "\eqno" =eq(uation) nomer.

Спасибо!

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #623888 писал(а):

Мне кажется, что доказательство асимптотики средней плотности
занимает очень много места и отвлекает от основного вашего доказательства.
Ведь вывод тривиален.
Не лучше ли сослаться на К.Прахара.

У К. Прахара точно такой формулы нет, поэтому ее все равно надо доказывать, используя либо теоремы Прахара, либо формулу Мертенса. Дело вкуса! Мне лично нравится последний подход.

-- 27.09.2012, 21:38 --

vicvolf в сообщении #623865 писал(а):

AKM:

Ваши \lnx пропадают: нет такой команды в ЛаТеХе. Правильно \ln x, \sin x, etc --- после команды пробел (или другая не_буква).
Ваша предыдущая формула в моей редакции (зацените потрясающие скобочки!):

$$\color{blue}\ln\left(\prod_{k+1 \leq p\leq x}\left(1-\frac {k} {p}\right)\right)=C_{1k}-k \underbrace{\ln x \ln x}_{\ln\ln x\color{red}?}+C_{2k}/\ln x+o(1/\ln x)$$

Да. скобочки оценил! Согласен с исправлениями. Можно ли исправить этот фрагмент с Вашими пометками? А то данное сообщение теперь не выглядит!

[vicvolf]

Droog_Andrey в сообщении #617678 писал(а):

умноженную на соответствующую константу Харди-Литлвуда: http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html
Они рассчитываются согласно http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Di ... cture.html
Разумеется, $R_k(x) \sim \int\limits_2^x\frac{dt}{\ln^k t}$, однако $R_k(x)$ лучше работает для небольших $x$.

Благодарен Вам за подборку статей. С удовольствием с ними ознакомился. Нашел много полезного. Интересно Ваше мнение по данной теме?

[AKM]

vicvolf в сообщении #624124 писал(а):

Можно ли исправить этот фрагмент с Вашими пометками?

Я не вникал в суть темы, и даже не знаю, пишете ли Вы подправленное одно-и-то-же, или это последовательные "продолжение следует". Я лишь реагировал на неаккуратность представления (внешнего вида) материала. Обнаруженные ошибки --- только от попыток сделать поаккуратнее.

Я даже не очень понял Вашу просьбу. Могу Вам предложить временно переместить тему в Карантин, где Вы сможете сами всё проверить и внести все желательные исправления. Не надо думать, что Карантин --- это типа "наказание". Иногда участники сами об этом просят. Если хотите --- заявите желание, в этой теме или в ЛС.

(Оффтоп)

А то мне, пардон, не до этой чёртовой математики сейчас. Есть реальные дела --- яблоки осыпаютя, брусникой надо заниматься и, говорят, опята по новой вылупились.

Или Вы куда-то спешите? Может Вам вот-вот 40 лет и надо успеть? Если так, я похерю яблоки и подсоблю, чем смогу. Но, извините, не ценой опят.

[Droog_Andrey]

vicvolf в сообщении #624514 писал(а):

Интересно Ваше мнение по данной теме?

Мнение о чём именно Вас интересует?