ВТФ – доказательство

[Yarkin]

Теорема Ферма (уточненная). Не существует целых чисел x, y, z и n, что одновременно выполняются соотношения
$$x^n+y^n=z^n, n=2, 3, 4,…, \eqno (1)$$

Доказательство. ($n=3$)Пусть $x_0, y_0, z_0$ - в общем случае комплексные решения уравнения Ферма (1), т.е. выполняется равенство

$$(x_0)^3+(y_0)^3=(z_0)^3, \eqno (2)$$

Представим $x_0, y_0, z_0$ в тригонометрической форме:

$$x_0=\rho_x(\cos \varphi_x+i \sin \varphi_x)$$
,
$$y_0=\rho_y(\cos \varphi_y+i in \varphi_y)$$
,
$$z_0=\rho_z(\cos \varphi_z+i \ sin \varphi_z) \eqno (3) $$
и подставим в (2). Используя правила действия над комплексными числами (КЧ) и равенства двух КЧ, после простых преобразований, получим

$$(\rho_x)^6+ (\rho_y)^6-2(\rho_x)^3(\rho_y)^3 \cos C=(\rho_z)^6$$


$$(\rho_x)^6+ (\rho_z)^6-2(\rho_x)^3(\rho_z)^3 \cos A=(\rho_y)^6$$


$$(\rho_y)^6+ (\rho_z)^6-2(\rho_y)^3(\rho_z)^3 \ cos B=(\rho_x)^6, \eqno (4) $$

- соотношения теоремы косинусов для модулей корней уравнения (1), где обозначено:

$$A=3(\varphi_x -\varphi_z), B=3(\varphi_z -\varphi_y), C=\pi-3(\varphi_x -\varphi_y) \eqno (5) $$

Вывод:
В условиях ВТФ, решения уравнения (1) могут быть целочисленными только тогда, когда
$$(\rho_x)^3, (\rho_y)^3, (\rho_z)^3$$
будут Пифагоровыми тройками, что возможно только при $n=1$. Других целочисленных решений соотношения (4) не дают.
Пифагоровы тройки мы получим при
$C=\frac \pi 2$. Подставляя это значение в (4), получим условие для модулей корней уравнения (1)

$$(\rho_x)^6+ (\rho_y)^6=(\rho_z)^6 \eqno (6)$$

В условиях ВТФ соотношения (2) и (6) одновременно могут выполняться только при
$$(\rho_x)^3 = (\rho_y)^3 = (\rho_z)^3 / \sqrt2$$

ВТФ (для n=3) доказана.


(Общий случай)

Доказательство "общего случая" может публиковаться и рассматриваться только после принятия общественностью случая n=3. В этом, собственно, и смысл введённого в этой ветке правила "Сначала n=3".
Остаток текста не удаляю, но заключаю в оффтопик, //AKM


Доказательство (Общий случай). Пусть $x_0, y_0, z_0$ - в общем случае комплексные решения уравнения Ферма (1), т.е. выполняется равенство


$$(x_0)^n+(y_0)^n=(z_0)^n, \eqno (2)$$


Представим $x_0, y_0, z_0$ в тригонометрической форме:


$$x_0=\rho_x(\cos\varphi_x+i \sin\varphi_x)$$

$$y_0=\rho_y(\cos\varphi_y+i \sin\varphi_y)$$

$$z_0=\rho_z(\cos\varphi_z+i \sin\varphi_z) \eqno (3) $$

и подставим в (2). Используя правила действия над комплексными числами (КЧ) и равенства двух КЧ, после простых преобразований, получим


$$(\rho_x)^{2n}+ (\rho_y)^{2n}-2(\rho_x)^n(\rho_y)^n \cos C=(\rho_z)^{2n}$$




$$(\rho_x)^{2n}+ (\rho_z)^{2n}-2(\rho_x)^n(\rho_z)^n \cos A=(\rho_y)^{2n}$$




$$(\rho_y)^{2n}+ (\rho_z)^{2n}-2(\rho_y)^n(\rho_z)^n \cos B=(\rho_x)^{2n}, \eqno (4) $$


- соотношения теоремы косинусов для модулей корней уравнения (1), где обозначено:


$$A=n(\varphi_x -\varphi_z), B=n(\varphi_z -\varphi_y), C=\pi-n(\varphi_x -\varphi_y) \eqno (5) $$


Вывод:
В условиях ВТФ, решения уравнения (1) могут быть целочисленными только тогда, когда

$$(\rho_x)^n, (\rho_y)^n, (\rho_z)^n$$

будут Пифагоровыми тройками, что возможно только при $n=1$. Других целочисленных решений соотношения (4) не дают.
Пифагоровы тройки мы получим при
$C=\frac \pi 2$. Подставляя это значение в (4), получим условие для модулей корней уравнения (1)


$$(\rho_x)^{2n}+ (\rho_y)^{2n}=(\rho_z)^{2n} \eqno (6)$$


В условиях ВТФ соотношения (2) и (6) одновременно могут выполняться только при

$$(\rho_x)^n = (\rho_y)^n = (\rho_z)^n / \sqrt2$$


ВТФ доказана.

[Toucan]

По правилам раздела "Великая теорема Ферма", до начала какого-то обсуждения Вы должны явно выписать доказательство ВТФ для случая $n=3$.

А пока едем в карантин.

Заодно поправьте формулы -- тригонометрические функции набираются так:

$\sin \cos$

После того как исправите сообщение, напишите об этом в тему Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Великая теорема Ферма»

[venco]

Yarkin в сообщении #623852 писал(а):

Вывод:
В условиях ВТФ, решения уравнения (1) могут быть целочисленными только тогда, когда

$$(\rho_x)^3, (\rho_y)^3, (\rho_z)^3$$

будут Пифагоровыми тройками

Неверно. Попробуйте поподробнее обосновать.

[migmit]

Yarkin в сообщении #623852 писал(а):

Не существует целых чисел x, y, z и n, что одновременно выполняются соотношения

$$x^n+y^n=z^n, n=2, 3, 4,…, \eqno (1)$$

Я вижу здесь только одно соотношение. Причём оно, разумеется, выполняться может. Два тривиальных случая, полностью подпадающих под формулировку:
1) $x=y=z=0$, $n$ - любое.
2) $x=3$, $y=4$, $z=5$, $n=2$.

Yarkin в сообщении #623852 писал(а):

В условиях ВТФ, решения уравнения (1) могут быть целочисленными только тогда, когда

$$(\rho_x)^3, (\rho_y)^3, (\rho_z)^3$$

будут Пифагоровыми тройками

Это почему?

[Yarkin]

venco в сообщении #623999 писал(а):

Yarkin в сообщении #623852 писал(а):

Вывод:
В условиях ВТФ, решения уравнения (1) могут быть целочисленными только тогда, когда

$$(\rho_x)^3, (\rho_y)^3, (\rho_z)^3$$

будут Пифагоровыми тройками

Неверно. Попробуйте поподробнее обосновать.

Согласен. Имел в виду, что в этом случае
$$(\rho_x)^6, (\rho_y)^6, (\rho_z)^6$$
будут целочисленными

[migmit]

Тогда к чему было вот это:

Yarkin в сообщении #623852 писал(а):

Пифагоровы тройки мы получим при $C=\frac \pi 2$.

[Yarkin]

migmit в сообщении #624000 писал(а):

Yarkin в сообщении #623852 писал(а):

Не существует целых чисел x, y, z и n, что одновременно выполняются соотношения

$$x^n+y^n=z^n, n=2, 3, 4,…, \eqno (1)$$

Я вижу здесь только одно соотношение. Причём оно, разумеется, выполняться может. Два тривиальных случая, полностью подпадающих под формулировку:
1) $x=y=z=0$, $n$ - любое.
2) $x=3$, $y=4$, $z=5$, $n=2$.

Условие (6) получено из соотношения (1) и не учитывать его нельзя. Приведенные Вами корни одновременно соотношениям (2) и (6) не удовлетворяют.

Yarkin в сообщении #623852 писал(а):

В условиях ВТФ, решения уравнения (1) могут быть целочисленными только тогда, когда

$$(\rho_x)^3, (\rho_y)^3, (\rho_z)^3$$

будут Пифагоровыми тройками

Это почему?

Ответ дан выше.

[migmit]

Yarkin в сообщении #624020 писал(а):

Условие (6) получено из соотношения (1) и не учитывать его нельзя.

Не пойдёт. То, что я процитировал - много раньше, чем соотношение (6). Самое начало. Никакого (6) ещё нет.

Тем более, что это (6) получено из утверждения про Пифагоровы тройки, от которого вы сами выше отказались.

[Yarkin]

migmit в сообщении #624012 писал(а):

Тогда к чему было вот это:

Yarkin в сообщении #623852 писал(а):

Пифагоровы тройки мы получим при $C=\frac \pi 2$.

Уважаемый migmit спасибо за замечаения. Я не чистый математик, а потому с помощью участников Форума исправлю все ошибки и неправильные высказывания. Вероятно, здесь подошло бы следующее выражение: для получения целочисленных решений, положим $C=\frac \pi 2$

[venco]

А давайте лучше положим $C=\pi$. Мне так больше нравится.

[Yarkin]

venco в сообщении #624028 писал(а):

А давайте лучше положим $C=\pi$. Мне так больше нравится.

Спасибо venco за предложение. Начиная с формул (5), окончание доказательства я изменяю.
Целочисленные решения возможны в двух случаях:
1) $C=\frac \pi 2$. Подставляя это значение в (4), получим условие для модулей корней уравнения (1) в виде
$$(\rho_x)^6+ (\rho_y)^6=(\rho_z)^6 \eqno (6)$$

2) $C= \pi$. Подставляя это значение в (4), получим условие для модулей корней уравнения (1) в виде
$$(\rho_x)^3+ (\rho_y)^3=(\rho_z)^3 \eqno (7)$$

В условиях ВТФ соотношения (2) и (6) одновременно могут выполняться только при
$$(\rho_x)^3 = (\rho_y)^3 = (\rho_z)^3 / \sqrt2$$
а в условиях (2) и (7) при
$$(\rho_x)^3 = (\rho_z)^3, (\rho_y)^3 = 0$$

ВТФ (для n=3) доказана.

[venco]

Yarkin в сообщении #624207 писал(а):

в условиях (2) и (7) при

$$(\rho_x)^3 = (\rho_z)^3, (\rho_y)^3 = 0$$

Неправильно.

[Dunaev]

Насколько я помню, в тригонометрической форме можно представлять только комплексные числа. У Вас что: числа $x_0, y_0, z_0$ комплексные? Тогда какое отношение они имеют к теореме Ферма?

[AKM]

Автор указал это:

Yarkin в сообщении #623852 писал(а):

Пусть $x_0,y_0,z_0$ - в общем случае комплексные решения уравнения Ферма (1)

Dunaev в сообщении #624255 писал(а):

Насколько я помню, в тригонометрической форме можно представлять только комплексные числа

Насколько помню я, даже число 13 входит во множество комплексных чисел (по крайней мере, в 1975 году входило), и вполне может быть представлено в тригонометрической форме.

-- 28 сен 2012, 16:42 --

Dunaev заблокирован за комплексное клонирование.