2 задачи по теории чисел

[DjD USB]

1) Три натуральных взаимно простых в совокупности числа таковы, что квадрат разности любых двух из них делится на третье. Докажите, что среди этих чисел не менее двух точных квадратов.
2)Дано простое число $p$. Для скольких чисел $a$ принадлежащему $\{0,1....,p^2-1\}$, сравнение $x^p+ay^p\equiv N\pmod {p^2}$ разрешимо при целых $N$?
Какие есть методы для решения таких задач?

[nnosipov]

По поводу 2): не совсем понятна постановка задачи. О каких именно целых $N$ идёт речь? Если у этой задачи есть первоисточник (сборник задач, какая-нибудь олимпиада и т.п.), приведите ссылку.

[DjD USB]

Извиняюсь речь идет о всех целых N. Т.е когда сравнение разрешимо при всех целых N?

[nnosipov]

2) Здесь надо доказать два утверждения: а) при любом $a=kp$, где $k=1,2,\dots,p-1$, сравнение $x^p+ay^p \equiv N \pmod{p^2}$ разрешимо при любом $N$; б) если $a=0$ или $a$ не делится на $p$, то сравнение $x^p+ay^p \equiv N \pmod{p^2}$ разрешимо не при любом $N$.