Задачи с матрицами и степенями

[Sirian]

Собственно интересно узнать как решаются следующие задачи:
1. пусть $AB-BA=A^{1955}$
доказать что $A$-нильпотентна ($A,B$ - произвольные квадратные матрицы)

2. пусть $A$ и $B$ - квадратные матрицы одного порядка. Доказать что их характеристические многочлены совпадают

3. Доказать что если $Ker(A^m)=Ker(A^{m+1})$ то $Im(A^m)=Im(A^{m+1})$

Добавлено спустя 56 секунд:

P.S. перенесите плиз в тему "Помогите решить/разобраться"

[Brukvalub]

Sirian писал(а):

2. пусть A и B - квадратные матрицы одного порядка.Доказать что их характеристические многочлены совпадают

Боюсь, что этого доказать не удастся, поскольку это не так.

[Sirian]

ой... ошибся... доказать что AB и BA имеют одинаковые характеристические многочлены

[Brukvalub]

Используйте для д-ва 3. следующие три общеизвестных факта:

\[ \ker (A^m ) \subseteq \ker (A^{m + 1} ) \]

\[ {\mathop{\rm Im}\nolimits} (A^{m + 1} ) \subseteq {\mathop{\rm Im}\nolimits} (A^m ) \]

\[ \dim \ker (B) + \dim {\mathop{\rm Im}\nolimits} (B) = \dim V \]

Добавлено спустя 8 минут 18 секунд:

Sirian писал(а):

ой... ошибся... доказать что AB и BA имеют одинаковые характеристические многочлены

Сначала докажите требуемое для случая, когда одна из матриц обратима, умножая внутренность определителя, вычисляющего хар. многочлен с одной стороны на обратимую матрицу, а с другой стороны - на обратную к ней, а потом распространите доказанное равенство на случай вырожденных матриц по непрерывности, используя плотность невырожденных матриц во множестве всех квадратных матриц в любой разумной топологии.

[Sirian]

спс, а по поводу первой задачи идеи есть?

[RIP]

Sirian писал(а):

1. пусть AB-BA=A^1955
доказать что A-нильпотентна (A,B - произвольные квадратные матрицы)

Mожно доказать, что для любого многочлена $P(z)$ выполняется равенство $P(A)B-BP(A)=A^{m}P'(A)$, где для краткости обозначено $m=1955$. В частности, верно следующее: если $P(A)=0$ (нулевая матрица), то $A^{m}P'(A)=0$. Взяв в качестве $P(z)$ минимальный многочлен матрицы $A$, получим, что $P(z)$ делит $z^mP'(z)$, откуда легко получить, что P(z) имеет вид $P(z)=cz^k$.

[Sirian]

а немного подробнее можно доказательство 1? а то я не совсем понимаю

[RIP]

А что конкретно непонятно? Равенство $P(A)B-BP(A)=A^mP'(A)$ достаточно проверить для $P(z)=z^k$. Индукция по $k$ Вам в помощь.

[Sirian]

Brukvalub писал(а):

Используйте для д-ва 3. следующие три общеизвестных факта:

\[ \ker (A^m ) \subseteq \ker (A^{m + 1} ) \]

\[ {\mathop{\rm Im}\nolimits} (A^{m + 1} ) \subseteq {\mathop{\rm Im}\nolimits} (A^m ) \]

\[ \dim \ker (B) + \dim {\mathop{\rm Im}\nolimits} (B) = \dim V \]

вот я использовал... получаем что dim Im A^m=dim Im A^(m+1) следует ли из этого что Im A^m=Im A^(m+1)? и почему?

[Brukvalub]

Sirian писал(а):

вот я использовал... получаем что dim Im A^m=dim Im A^(m+1) следует ли из этого что Im A^m=Im A^(m+1)? и почему?

Если размерность подпространства совпадает с размерностью пространства, то....

[Sirian]

ок... понял)
теперь немного другая задачка...
доказать, что если пересечение ker A и Im A ={0}
тогда ker A=ker (A^2)

[Brukvalub]

Sirian писал(а):

доказать, что если пересечение ker A и Im A ={0}
тогда ker A=ker (A^2)

Это следует сразу из определений ядра и образа, это даже не задача, а упражнение на понимание определений.

[Sirian]

эээ, ну а все таки?

[Brukvalub]

В условии сказано:

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {y = Ax} \\ {Ay = 0} \\ \end{array}} \right. \Rightarrow y = 0 \]

. Отсюда все сразу и следует.

[Sirian]

все понял) спс