Что такое ковектор?

[arseniiv]

Спасибо. (Правда, жалко, что вместо внутреннего произведения нельзя что-то другое.)

[Iby]

Munin, можете пояснить, что это за палки на вашем рисунке и как их вообще понимать?....

[Munin]

Iby в сообщении #622132 писал(а):

Munin, можете пояснить, что это за палки на вашем рисунке и как их вообще понимать?....

Представьте себе на плоскости линейную скалярную функцию $ax+by.$ Вы рисуете её линии уровней. Вот эти линии, со стрелочкой в сторону, куда уровень повышается, и изображают ковектор. Если функция становится больше, скажем, $2(ax+by),$ то линии уровней становятся гуще. Достаточно нарисовать две параллельные линии, чтобы понять, о чём речь, так что на всех рисунках только две и нарисовано.

Какой именно ковектор имеется в виду? Можно взять производную от этой скалярной функции, то есть градиент, она в теории дифференциальных форм обозначается буквой $d$: $d(ax+by)=a\,dx+b\,dy.$ Оказывается, что можно представить себе эти "линии уровней", как "сумму" двух базисных "пар линий уровней", которые так и обозначаются (в теории дифформ) $dx$ и $dy.$ Вот их и считают базисными ковекторами, а их сумму с коэффициентами - ковектором с заданными координатами в этом базисе.

[Oleg Zubelevich]

epros в сообщении #621786 писал(а):

ковектор - это градиент скалярной функции.

чОй-то за фигня такая?

[alcoholist]

g______d в сообщении #622114 писал(а):

Я не совсем прав, не обязательна евклидова структура, но нужно внутреннее произведение

ну да, любая невырожденная билинейная форма

[Iby]

если мы рассмотрим квадратную матрицу, то можно считать, что ее столбцы - это вектора, а строки-ковекторы?

[Munin]

Да. И не обязательно строки и столбцы квадратной матрицы. Любой столбец - вектор, а строка - ковектор, и любая неквадратная матрица состоит из векторов и ковекторов - вообще говоря, разного количества и разных размерностей, то есть относящихся к разным пространствам. Если рассматривать матрицу как линейное преобразование, действующее на вектор-столбец слева, то её столбцы - образы базисных векторов исходного пространства в целевом, а строки - прообразы базисных ковекторов целевого пространства в исходном.

И "задом наперёд - всё наоборот": можно рассматривать векторы-строки как векторы, а столбцы как их ковекторы, и матрицу - действующей на вектор-строку справа.

[ewert]

Iby в сообщении #623467 писал(а):

если мы рассмотрим квадратную матрицу, то можно считать, что ее столбцы - это вектора, а строки-ковекторы?

Нет, нельзя. Т.е. можно, но только тогда, когда это -- матрица некоторого оператора. А матрица может быть, в принципе, чего угодно; скажем, матрица билинейной формы.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #623519 писал(а):

Iby в сообщении #623467 писал(а):
если мы рассмотрим квадратную матрицу, то можно считать, что ее столбцы - это вектора, а строки-ковекторы?

Нет, нельзя. Т.е. можно, но только тогда, когда это -- матрица некоторого оператора.

что , вообще говоря, есть вранье.
Хорошо видно, что в новых координатах первый столбец матрицы оператора не получен из какого-либо столбца его матрицы в старых координатах по контравариантному закону: $\tilde a_1^s=a_i^jC_1^iC_j^s$

[type2b]

ковектор -- это то, что можно спарить с вектором и получить скаляр. Когда говорят, что транспонированный вектор -- это ковектор, то подразумевают, что задано скалярное произведение $(x,y)=x^Ty$, и с помощью него отождествлено пространство с дуальным. При этом, очевидно, скалярное произведение инвариантно только относительно ортогональных преобразований, и отождествление это инвариантно с точностью до тех же преобразований. Короче, если вектор в некотором базисе преобразуется как $v\rightarrow Av$, то ковектор, если его записывать в виде строки, должен преобразовываться в биортогональном базисе как $w\rightarrow wA^{-1}$. Если преобразование ортогонально, то таки да, преобразуется как $v^T$.
Вообще, полезно думать в инвариантных терминах. Транспонирования вообще не существует.

[epros]

Oleg Zubelevich в сообщении #622181 писал(а):

epros в сообщении #621786 писал(а):

ковектор - это градиент скалярной функции.

чОй-то за фигня такая?

$a_i = \frac{\partial f}{\partial x^i}$

[g______d]

epros в сообщении #623581 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #622181 писал(а):

epros в сообщении #621786 писал(а):

ковектор - это градиент скалярной функции.

чОй-то за фигня такая?

$a_i = \frac{\partial f}{\partial x^i}$

Далеко не любой ковектор является градиентом скалярной функции.

[epros]

g______d в сообщении #623601 писал(а):

Далеко не любой ковектор является градиентом скалярной функции.

Вопрос-то был про "геометрически представить". Вот, пожалуйста, можно так геометрически представить. А то, что не всякое ковекторное поле градиентно, так это уже совсем другой вопрос.

[g______d]

epros в сообщении #623628 писал(а):

g______d в сообщении #623601 писал(а):

Далеко не любой ковектор является градиентом скалярной функции.

Вопрос-то был про "геометрически представить". Вот, пожалуйста, можно так геометрически представить. А то, что не всякое ковекторное поле градиентно, так это уже совсем другой вопрос.

Ну это да, преобразуется он, конечно, так же.

[Munin]

type2b в сообщении #623562 писал(а):

Вообще, полезно думать в инвариантных терминах.

Вот только в теории матриц инвариантных терминов ещё нет. И попытки слишком упорно забывать об этом приводят к путанице, как у ewert и Oleg Zubelevich. У матрицы нет каких-либо законов преобразования. Матрица не есть матрица чего-то. Матрица - это просто матрица. Произведение матрицы $1\times n$ (строка) на матрицу $n\times 1$ (столбец) всегда даст матрицу $1\times 1$ (скаляр), хотя законов преобразования и здесь ни для кого не задано.