Несколько вопросов по алгебре(теория чисел)

[abral]

1) Как доказать что $a \in Z_n$ нильпотентен тогда и только тогда, когда $n$ делится на квадрат натурального числа?
2) При каких $n$ в $Z_n$ встречаются идемпотентные элементы?Как перечислить все идемпотентные элементы в $Z_n$?

[Joker_vD]

1) Напишите, что означает нильпотентность $a$ в кольце $\mathbb Z_n$.
2) При всех. Как перечислить? Напишите, что означает идемпотентность $a$ в кольце $\mathbb Z_n$.

[abral]

Наверное условие непонятно написал ?
$\mathbb Z_n$ кольцо вычетов по модулю $n$
1)$ \bar{a} \in \mathbb Z_n, $\bar{a^p} = \bar{0} $ $\Rightarrow \bar{a}$ - нильпотентно
2)$\bar{a} \in \mathbb Z_n$ и $\bar{a}\ne \bar{0}, a\ne \bar{1}$, $\bar{a^2} = \bar{a}$ $\Rightarrow \bar{a} $- идемпотентно

[AV_77]

Условие понятно.
Давайте для начала с первой задачей разберемся. Пусть $n = p_1^{m_1} \ldots p_r^{m_r}$ - разложение по степеням простых чисел. При каких условиях некоторая степень $a$ будет делиться на $n$? Может ли случиться так, что, на пример, $a$ не делится на $p_1$, а $a^k$ делится на $p_1^{m_1}$ для некоторого $k$?

[abral]

Спасибо! Первый понял.

[AV_77]

Тогда давайте со второй разбираться.
Если $a$ идемпотент, то $a(a-1) \equiv 0 \pmod{n}$. Снова рассмотрите разложение $n$ в произведение степеней простых чисел и попробуйте решить это уравнение, учитывая, что $a$ и $a-1$ взаимно просты.

[abral]

Ясно лишь то, что при простых n идемпотенты отсутствуют.
Видимо при всех остальных они есть, но не понимаю как доказать.

[AV_77]

abral в сообщении #623443 писал(а):

Ясно лишь то, что при простых n идемпотенты отсутствуют.

А 0 и 1?

[Joker_vD]

abral в сообщении #623443 писал(а):

Видимо при всех остальных они есть,

$\mathbb Z_4$, $\mathbb Z_{9}$ и многие другие несогласны. Тут есть очень простое соображение, но не уверен, что вам разрешат так читерить, но все же. Если у вас есть $e\in \mathbb Z$ такое, что $e^2\equiv e\pmod n$, то $\mathbb Z_n\cong \mathbb Z_{e}\times \mathbb Z_{1-e}$ — а разложение $\mathbb Z_n$ в прямое произведение общеизвестно.

AV77
Очевидно, нужные нетривиальные идемпотенты.

[AV_77]

Да здесь же просто все. Если $a$ идемпотнт, то $a(a-1) \equiv 0 \pmod{n}$, причем $a$ и $a-1$ взаимно просты. Если $n = p^k$ - степень простого, то у уравнения всего два решения - $a \equiv 0 \pmod{n}$ или $a \equiv 1 \pmod{n}$. Если же $n = st$, где $s$ и $t$ взаимно просты, то дополнительно возможен случай, когда $a \equiv 0 \pmod{s}$ и одновременно $a \equiv 1 \pmod{t}$. Ну и так далее.

[abral]

Да в условии сноска, что 0 и 1 не идемпотентны.

Дальше и не понятно.
Как рассмотреть основной случай $ n = p_1^{l_1}\ldots p_n^{l_n}$ ?

[Joker_vD]

$\mathbb Z_{p_1^{l_1}\dots p_n^{l_n}}\cong \mathbb Z_{p_1^{l_1}}\times\dots\times \mathbb Z_{p_n^{l_n}}$ — а если кольцо раскладывается в прямое произведение, значит, в нем есть идемпотенты.

-- Ср сен 26, 2012 00:04:01 --

Вы знаете КТО? Рассмотрите систему сравнений

$$\left\{\begin{array}{l} x\equiv1\pmod{p_1^{l_1}},\\ x\equiv0\pmod{p_2^{l_2}},\\ \hdotsfor[3]1\\ x\equiv0\pmod{p_n^{l_n}}\end{array}\right.$$