Здравствуйте. Ребят, очень нужна помощь.
Задача звучит следующим образом:
Является ли

полным метрическим пространством?

.
Я понимаю, что необходимо воспользоваться теоремой:
"Метрическое пространство

называется полным, если в нём всякая фундаментальная последовательность сходится."
Однако я не совсем представляю себе доказательство сходимости любой последовательности из представленного нам пространства.
Я разобрал следующий пример, что был приведён на лекции:
"Является ли

полным метрическим пространством?"

.
Для доказательства была использована одна из аксиом метрики:


Добавили и отняли в первом модуле

+ воспользовались свойством, что модуль суммы меньше либо равен суммы модулей и получили следующее:

Записали определение фундаментальности для данной последовательности:

- фундаментальна когда

тогда и только тогда, когда

, что

и

,


будет выполняться:

После этого обозначили

и получили:


- сходится относительно этой метрики, тогда пусть


. Отсюда при


, т.к.

и

Значит,

Не могу провести аналогичные рассуждения в примере, который привёл первым, т.к. меня смущает

, ну и, собственно, доказательство верности аксиомы метрики для максимумов.