Определить полноту пространства

[ARD_ElEcTrO]

Здравствуйте. Ребят, очень нужна помощь.

Задача звучит следующим образом:

Является ли $(X,p)$ полным метрическим пространством?

$X=\mathbb R^2, p(M_1,M_2)=max\{| x_1^3-x_2^3|,| y_1^3-y_2^3|\}$.

Я понимаю, что необходимо воспользоваться теоремой:

"Метрическое пространство $X$ называется полным, если в нём всякая фундаментальная последовательность сходится."

Однако я не совсем представляю себе доказательство сходимости любой последовательности из представленного нам пространства.

Я разобрал следующий пример, что был приведён на лекции:

"Является ли $(X,p)$ полным метрическим пространством?"
$X=\mathbb R, p(x,y)=| x^3-y^3|$.

Для доказательства была использована одна из аксиом метрики:

$p(x,y)\le p(x,z)+p(z,y)$

$|x^3-y^3|\le|x^3-z^3|+|z^3-y^3|$

Добавили и отняли в первом модуле $z^3 $ + воспользовались свойством, что модуль суммы меньше либо равен суммы модулей и получили следующее:
$|x^3-y^3|\le|(x^3-z^3)+(z^3-y^3)|\le|x^3-z^3|+|z^3-y^3|\le|x^3-z^3|+|z^3-y^3|=p(x,z)+p(z,y)$

Записали определение фундаментальности для данной последовательности:
$\{x\}^n$- фундаментальна когда $\forall$ $ \varepsilon $ тогда и только тогда, когда $ \exists $ $N$, что $\forall$ $n \ge N$ и $\forall$ $p$, $\epsilon$$N$ будет выполняться:

$|x_n^3-y_{n+p}^3|<\varepsilon $

После этого обозначили $x_n^3=y$ и получили:

$|y_n-y_{n+p}|<\varepsilon $

$y_n$ - сходится относительно этой метрики, тогда пусть $y_o$ $\epsilon$$\mathbb R$. Отсюда при $n\rightarrow \infty$ $y_0=lim y_n=lim x_n^3=x_0^3$
$x_n\rightarrowx_0$, т.к. $|x_0^3-x_n^3|\rightarrow0$ и $|y_0^3-y_n^3|\rightarrow0$
Значит, $p(x_n,x_0)\rightarrow0$

Не могу провести аналогичные рассуждения в примере, который привёл первым, т.к. меня смущает $\mathbb R^2$, ну и, собственно, доказательство верности аксиомы метрики для максимумов.

[ewert]

Стандартная схема доказательства:

$$\text{Фундаментальна по метрике}\ \Longrightarrow\ \text{Фундаментальна по каждой координате}\ \Longrightarrow$$

$$\Longrightarrow\ \text{Сходится по каждой координате}\ \Longrightarrow\ \text{Сходится по метрике.}$$

Здесь центральный переход -- это вот тот самый одномерный пример, который вы разбирали, а два крайних банальны.

[ARD_ElEcTrO]

ewert
А не могли бы вы поподробнее объяснить? Я так понимаю, что последовательность фундаментальна в пространстве с данной метрикой, если при $(n,m)$, стремящимся к бесконечности независимо друг от друга, $p(Xn, Xm)$ будет стремится к нулю. Однако, как действовать, когда у нас есть $x_1, x_2,y_1,y_2$?

Допустим, взяли мы первый модуль $|x_n_1^3-x_n_2^3|=|(x_n_1-x_n_2)*(x_n_1^2+xn_1*xn_2+x_n_2^2)|$. Разложили. Вторая скобка всегда положительна и будет стремится к бесконечности, при стремлении n к бесконечности. А вот о первой однозначно ответить нельзя. Я в замешательстве.

[ewert]

ARD_ElEcTrO в сообщении #623360 писал(а):

Я так понимаю, что последовательность фундаментальна в пространстве с данной метрикой, если при $(n,m)$, стремящимся к бесконечности независимо друг от друга, $p(Xn, Xm)$ будет стремится к нулю. Однако, как действовать, когда у нас есть $x_1, x_2,y_1,y_2$?

Вы так правильно понимаете. А действовать дальше надо молча: если те расстояния по плоскости стремятся к нулю, то уж тем более (согласно определению того расстояния) будет стремление к нулю отдельно по иксам и отдельно по игрекам. Т.е. как последовательность иксов, так и последовательность игреков окажутся фундаментальными. Ну и т.д.

[ARD_ElEcTrO]

ewert

Агааа.

По-моему, уловил мысль:

Рассматриваем по отдельности:

$|x_n_1^3-x_m_1^3|=|(x_n_1-x_m_1)*(x_n_1^2+x_n_1*x_m_1+x_m_2^2)|\rightarrow0$, так как вторая скобка всегда положительна, а первая будет стремиться к нулю, так как разность $ x_n_1$ и $x_m_1$ будет стремится к нулю при n_1\rightarrow \infty$ и при m_1\rightarrow \infty$ . Итого, последовательность по иксам окажется фундаментальной.

Аналогично по игрекам.

Значит, после этого можно утверждать, что любая последовательность из $max\{|x_1^3-x_2^3|, |y_1^3-y_2^3|\}$ будет фундаментальна, следовательно, полнота метрического пространства доказана.

Верно ведь? Это достаточно исчерпывающе?

[ARD_ElEcTrO]

ewert
Разобрался. Спасибо за помощь!

[involume]

Можете, пожалуйста, по подробнее объяснить с того момента, когда мы начинаем доказывать полноту метрического пространства? Понятно, когда доказывается метрика, там 3 аксиомы, 2 из которых тривиальны и лишь по сути третья (неравенство треугольника) требует доказательства. Но так как там модули, то всё становится до банального легко.

Просто чудом повезло, что задание такое же, $p(x,y)=|x^3-y^3|, X=\mathbb R$. Вернее, полностью оно звучит так: "Можно ли задать метрику на вещественной прямой с помощью $p(x,y)? Если да, то будет ли получившееся метрическое пространство полным? p(x,y)=|x^3-y^3|, X=\mathbb R$".

На первое я ответил, метрику задать можно, т.к. выполняются все 3 аксиомы. А вот с доказательством полноты у меня как-то не идёт ;-(

[involume]

Откуда вот это взялось? $|x_n^3-y_{n+p}^3|<E$. Если у нас заранее получается что ${x^n}$ фундаментальная последовательность, то тогда откуда $y$ взялся?