2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 дифференциальные формы, помогите разобраться с определениями
Сообщение19.04.2007, 17:52 


25/02/07
22
Подскажите пожалуйста, как применять дифференциальные формы,
например,

$w=x dx + y dy$ - дифф. форма $A^1(R^2)$

X - произвольное векторное поле на $R^2$

p=(x,y) - точка на $R^2$

1) как выражается $w(X)(p)$ ?


Y - векторное поле на $R^2$, $Y(x,y)=(y,-x)$

2) как выражается $dx \wedge dy (Y,X) (p)$ ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.04.2007, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Отвечу сразу на второй вопрос, поскольку ответ на первый еще проще и аналогичен ответу на второй. При этом введу более понятные, на мой взгляд, обозначения. Итак, если \[
F(a(x,y),b(x,y))
\] и\[
G(p(x,y),q(x,y))
\] - два гладких векторных поля на двумерной координатной плоскости, то результат действия на них внешней 2-формы \[
dx \wedge dy
\] в точке\[
(x_0 ,y_0 )
\], согласно определению, вычисляется так: \[
dx \wedge dy(F,G)(x_0 ,y_0 ) = \left| {\begin{array}{*{20}c}
   {a(x_0 ,y_0 )} & {b(x_0 ,y_0 )}  \\
   {p(x_0 ,y_0 )} & {q(x_0 ,y_0 )}  \\
\end{array}} \right|
\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.04.2007, 19:45 


25/02/07
22
Спасибо, Brukvalub!
проверьте пожалуйста, так или нет:

произвольное векторное поле $X$ на $R^2$ можно задать как
$X(x,y)=(f_1(x,y)dx, f_2(x,y)dy)$

$w(X)(x,y)=x*f_1(x,y) dx + y*f_2(x,y) dy$

$dx \wedge dy (Y,X) (x,y) =\left| {\begin{array}{*{20}c}
   {y} & {-x}  \\
   {f_1(x,y) dx} & {f_2(x,y)dy)}  \\
\end{array}} \right|$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.04.2007, 19:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
RandomWalker писал(а):
произвольное векторное поле $X$ на $R^2$ можно задать как
$X(x,y)=(f_1(x,y)dx, f_2(x,y)dy)$
Непонятно, зачем Вы приписываете к координатам векторного поля dx и dy ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.04.2007, 20:10 


25/02/07
22
это потому что
1) в задаче требуется показать $ w(X) = dx \wedge dy (Y,X) $ :)
2) у нас дается определение векторного поля, как

X(\sigma (u) ) = \sum a_i(u) \sigma '_{u_i}(u)
$\sigma: U \longmapsto M $ - карта на М

P.S. может быть Вы можете посоветовать учебник по дифференциальной геометрии, чтобы там было побольше примеров?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.04.2007, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Ну, раз уж у Вас такое определение, то действуйте в соответствии с ним. Я-то подразумевал векторное поле образованное из векторов касательного к многообразию пространства. Из книг для начинающих мне нравится книга: http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.c ... &network=1
, хотя в ней изложен далеко не весь материал, но тот, который изложен-разобран толково, подробно и с примерами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.04.2007, 20:54 


25/02/07
22
Спасибо! :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group