дифференциальные формы, помогите разобраться с определениями

[RandomWalker]

Подскажите пожалуйста, как применять дифференциальные формы,
например,

$w=x dx + y dy$ - дифф. форма $A^1(R^2)$

X - произвольное векторное поле на $R^2$

p=(x,y) - точка на $R^2$

1) как выражается $w(X)(p)$ ?


Y - векторное поле на $R^2$, $Y(x,y)=(y,-x)$

2) как выражается $dx \wedge dy (Y,X) (p)$ ?

[Brukvalub]

Отвечу сразу на второй вопрос, поскольку ответ на первый еще проще и аналогичен ответу на второй. При этом введу более понятные, на мой взгляд, обозначения. Итак, если

\[ F(a(x,y),b(x,y)) \]

и

\[ G(p(x,y),q(x,y)) \]

- два гладких векторных поля на двумерной координатной плоскости, то результат действия на них внешней 2-формы

\[ dx \wedge dy \]

в точке

\[ (x_0 ,y_0 ) \]

, согласно определению, вычисляется так:

\[ dx \wedge dy(F,G)(x_0 ,y_0 ) = \left| {\begin{array}{*{20}c} {a(x_0 ,y_0 )} & {b(x_0 ,y_0 )} \\ {p(x_0 ,y_0 )} & {q(x_0 ,y_0 )} \\ \end{array}} \right| \]

[RandomWalker]

Спасибо, Brukvalub!
проверьте пожалуйста, так или нет:

произвольное векторное поле $X$ на $R^2$ можно задать как
$X(x,y)=(f_1(x,y)dx, f_2(x,y)dy)$

$w(X)(x,y)=x*f_1(x,y) dx + y*f_2(x,y) dy$

$dx \wedge dy (Y,X) (x,y) =\left| {\begin{array}{*{20}c} {y} & {-x} \\ {f_1(x,y) dx} & {f_2(x,y)dy)} \\ \end{array}} \right|$

[Brukvalub]

RandomWalker писал(а):

произвольное векторное поле $X$ на $R^2$ можно задать как
$X(x,y)=(f_1(x,y)dx, f_2(x,y)dy)$

Непонятно, зачем Вы приписываете к координатам векторного поля dx и dy ?

[RandomWalker]

это потому что
1) в задаче требуется показать $ w(X) = dx \wedge dy (Y,X) $
2) у нас дается определение векторного поля, как

X(\sigma (u) ) = \sum a_i(u) \sigma '_{u_i}(u)
$\sigma: U \longmapsto M $ - карта на М

P.S. может быть Вы можете посоветовать учебник по дифференциальной геометрии, чтобы там было побольше примеров?

[Brukvalub]

Ну, раз уж у Вас такое определение, то действуйте в соответствии с ним. Я-то подразумевал векторное поле образованное из векторов касательного к многообразию пространства. Из книг для начинающих мне нравится книга: http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.c ... &network=1
, хотя в ней изложен далеко не весь материал, но тот, который изложен-разобран толково, подробно и с примерами.

[RandomWalker]

Спасибо!