Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники, хочу предложить вам на обсуждение решение диофантового уравнения $a^2-b^2=c$
Сам процесс поиска излагать не буду, но конечный результат выглядит так:

$a=(mn+1)^2$, $b=(m+n)^2$, $c=(m^2-1)(n^2-1)$, где $m,n-$ натуральные числа.

Соответственно, если обратиться к теме разложения числа на множители, то появляется связь числа со своими делителями.
Пусть нечетное натуральное $N=pq$, где $p, q $ делители $N$. Тогда

$(N+1)^2=(p+q)^2+(p^2-1)(q^2-1)$

Вроде все проверял и пересчитывал. Прошу высказать замечания и предложения. Мне кажется это полезный результат.

AKM:

Побережный Александр в сообщении #641597 писал(а):

Должно быть $a=mn+1$ и $b=m+n$.
Уважаемые модераторы, могу ли я исправить ошибку в своем самом первом сообщении?

Исправляю таким образом (иначе мне надо изучать всю тему)

[shwedka]

Побережный Александр в сообщении #622884 писал(а):

но конечный результат выглядит так:

А можете доказать, что других решений, то есть не дающихся этой формулой, нет?

[nnosipov]

Побережный Александр в сообщении #622884 писал(а):

хочу предложить вам на обсуждение решение диофантового уравнения $a^2-b^2=c$

А как Вы понимаете фразу "решить диофантово уравнение"? Что она означает применительно к Вашему уравнению $a^2-b^2=c$?

-- Пн сен 24, 2012 16:06:25 --

nnosipov в сообщении #622895 писал(а):

А можете доказать, что других решений, то есть не дающихся этой формулой, нет?

Не может, конечно, потому что они есть.

[Nilenbert]

Так, смотрите $7^2-3^2=40$ и я не могу найти такие $m$ и $n$, что $7=(mn+1)^2$ и $3=(m+n)^2$.

[Shadow]

$a=3,b=2,c=5$ Почему у Вас а и в обязательно квадраты?

-- 24.09.2012, 12:17 --

Лучше так:
$\\a=m\\ b=n\\ c=m^2-n^2$

[Sonic86]

Это уравнение - такой баянистый баян, что о нем даже в книгах не пишут, а школьники с удовольствием переоткрывают его решение.
Ясно, что либо $2\nmid c$, либо сразу $2^2\mid c$. Дальше делается унимодулярная замена $u=\frac{x-y}{2}, v=\frac{x+y}{2}$ и все.
Уже где-то темы были...

[Побережный Александр]

shwedka в сообщении #622892 писал(а):

Побережный Александр в сообщении #622884 писал(а):

но конечный результат выглядит так:

А можете доказать, что других решений, то есть не дающихся этой формулой, нет?

Доказать, что это решение будет единственным не пробовал. Но в любом случае над этим надо задуматься.

Примеры, которые привели Shadow и Nilenbert попадают в запрещенную область. Я не правильно указал области допустимых значений для $m$ и $n$.
Вношу поправки: $m>1$ и $n>1$

[nnosipov]

Побережный Александр в сообщении #622909 писал(а):

Примеры, которые привели Shadow и Nilenbert попадают в запрещенную область. Я не правильно указал области допустимых значений для $m$ и $n$.
Вношу поправки: $m>1$ и $n>1$

Чушь какая-то. Похоже, ТС толком не понимает, что значит решить диофантово уравнение. Или понимает это как-то по своему. И сообщить нам об этом своём понимании упорно не желает.

[shwedka]

Побережный Александр в сообщении #622909 писал(а):

Доказать, что это решение будет единственным не пробовал. Но в любом случае над этим надо задуматься.

Вот именно. Когда задумаетесь и придумаете, можно будет считать, что уравнение решено.

[xmaister]

(Оффтоп)

А можно ли найти явно поле рациональных функций многообразия $X\subset\mathbb{A}^3_{\mathbb{Q}}$, определённого уравнением $x^2+y^2-z=0$? Если да, то как это сделать? Пусть $Z\subset \mathbb{A}^3_{\mathbb{Q}}$- многобразие, заданное уравнением $f(x,y,z)=0, f\in\mathbb{Q}[x,y,z]$. Пусть известно, что $Z$ бирационально изоморфно многобразию $Y\subset \mathbb{A}^3_{\mathbb{Q}}$, заданному конечной системой полиномиальных уравнений $f_i=0$, где $f_i\in\mathbb{Q}[x,y,z],1\le i\le n$, рациональные точки которых нам известны. Можно ли отсюда найти все, за исключением быть может конечного числа рациональных решений уравнения $f(x,y,z)=0$?

[Побережный Александр]

nnosipov в сообщении #622912 писал(а):

Побережный Александр в сообщении #622909 писал(а):

Примеры, которые привели Shadow и Nilenbert попадают в запрещенную область. Я не правильно указал области допустимых значений для $m$ и $n$.
Вношу поправки: $m>1$ и $n>1$

Чушь какая-то. Похоже, ТС толком не понимает, что значит решить диофантово уравнение. Или понимает это как-то по своему. И сообщить нам об этом своём понимании упорно не желает.

Уважаемый nnosipov, я понимаю фразу "решить диофантово уравнение" в моем случае - это значит найти такую тройку чисел $a,b,c$ при подстановке которых будет выполняться равенство. Или я что-то не верно понимаю?

[shwedka]

Побережный Александр в сообщении #622929 писал(а):

я понимаю фразу "решить диофантово уравнение" в моем случае - это значит найти такую тройку чисел $a,b,c$ при подстановке которых будет выполняться равенство. Или я что-то не верно понимаю?

Разные уровни. Для детских задач 'решить' значит найти все решения и доказать, что других решений нет.

[nnosipov]

Побережный Александр в сообщении #622929 писал(а):

Или я что-то не верно понимаю?

Обычно фраза "решить уравнение" означает найти ВСЕ решения уравнения. Кстати, а сколько неизвестных в Вашем уравнении $a^2-b^2=c$?

[Побережный Александр]

В рассматриваемом уравнении три неизвестных. Никак не пойму к чему вы подводите...
Кстати, а как Пифагор доказывал единственность решения своей знаменитой задачи?

[nnosipov]

Побережный Александр в сообщении #622942 писал(а):

В рассматриваемом уравнении три неизвестных. Никак не пойму к чему вы подводите...

Вот теперь можно всё объяснить. Вы нашли некоторые частные решения этого уравнения --- тройки чисел вида $(a,b,c)=((mn+1)^2,(m+n)^2,(m^2-1)(n^2-1))$, где $m$, $n$ --- произвольные натуральные числа. Однако этими тройками не исчерпываются все решения Вашего уравнения, о чём Вам и сообщили. У меня лично сложилось впечатление, что Вы не понимаете разницы между "найти все решения" и "найти какие-то решения".

Побережный Александр в сообщении #622942 писал(а):

Кстати, а как Пифагор доказывал единственность решения своей знаменитой задачи?

Не уверен, что Пифагор это вообще делал. А как это делают сейчас, можно прочитать в любой популярной книжке про диофантовы уравнения.