Симм. группы

[RgWhite]

А в чем разница представления (35) и (ij)? Вроде также и будет (ij)=(1i)(1j)(1i)

[Brukvalub]

Молодец! Теперь нужно снова читать указание RIP:

RIP писал(а):

1. Воспользуйтесь тем, что $S_n$ порождается транспозициями.

Если это Вам неизвестно, то стоит, например, почитать книгу, которую рекомендовал bot:

bot писал(а):

Возьмите Куроша, в конце концов - там всё в подробностях изложено.

А потом, с решением п.1 или с новыми проблемами по этому п. - сюда. И еще: а что вообще нужно доказывать в первом пункте? Сформулируйте, как Вы это понимаете.

[RgWhite]

Взял книгу Куроша "Теория групп", но про симметрические группы там практически ничего нет. Толи я что то неправильно понял, толи еще что, но про порождение Sn транспозициями я не нашел. Может книгу не ту взял?

[Lion]

В таком случае можно попробовать книгу Винберга "Курс алгебры". Но лучше следовать совету Литтлвуда:

Цитата:

Нужно искать решения задач не в книгах, а собственной голове.

[Brukvalub]

Хорошо, тогда прочтите вот это: http://aig.imi.sitc.ru/study/algebradist/podst.pdf и особенно обратите внимание на д-во теоремы 5.

[RgWhite]

Перестановку можно разложить в произведение независ циклов, а каждый цикл в произведение транспозиций-на это нужно обратить внимание?

[Brukvalub]

Да, именно на это.

[RgWhite]

Не могу понять все таки.
Sn=<(A1),(A2),...,(An)>, где Ai перестановки. Каждую перестановку расписываем как произведение циклов, каждый цикл как произведение транспозиций и приводим их к виду (1k). Для S3 получаем примерно S3=<E,(13),(13)(12)(13),(12),(12)(13),(13)(12)>. Как из этого сделать нужный вывод? Или я неправильно рассуждаю?

[Brukvalub]

RgWhite писал(а):

Доказать, что Sn=<(12), (13), ..., (1n)>

Brukvalub писал(а):

И еще: а что вообще нужно доказывать в первом пункте? Сформулируйте, как Вы это понимаете.

Ответьте теперь на мой ранее заданный Вам вопрос.

[RgWhite]

Ну наверное, что Sn порождается транспозициями вида (1i), i=1..n

[RIP]

RgWhite писал(а):

Ну наверное, что Sn порождается транспозициями вида (1i), i=1..n

Это, конечно, верно (только i=2...n), но напишите, пожалуйста, как Вы понимаете эту фразу?

[Brukvalub]

RgWhite писал(а):

Ну наверное, что Sn порождается транспозициями вида (1i), i=1..n

Если Вы не уверены в том, что я умею читать, то это напрасно. Что именно означает слово "порождается"?

[RgWhite]

Ну я незнаю! Попробуем так: что группа Sn "составляется" из элементов (1i)

[Brukvalub]

RgWhite писал(а):

Ну я незнаю! Попробуем так: что группа Sn "составляется" из элементов (1i)

У Вас должен читаться лекционный курс, в котором должно быть приведено определение понятия "порождающее группу множество элементов". Где же все это? В конце-концов, у Вас есть книга Куроша, ссылки на другие книги и т.п. Что за дикость: решать задачу, не удосужившись разобраться в понятиях, используемых в формулировке этой задачи? Вот именно об этом Вам и писал bot, на которого вы изволили гневаться. А гневаться-то надо на себя.

[RIP]

RgWhite
Пусть $G~-$ группа (для определённости, по умножению), $S\ne\varnothing~-$ некоторое подмножество $G$. Подгруппа , порождённая $S$,$~-$ это подгруппа $H\subset G$, которая обладает двумя свойствами: (1) $S\subset H$; (2) если $G'\subset G~-$ любая подгруппа, обладающая свойством $S\subset G'$, то $H\subset G'$. Обозначается она так: $H=\langle S\rangle$.
Несложно понять, что элементами $\langle S\rangle$ являются те и только те элементы $G$, которые представимы в виде произведения $g=h_1h_2\ldots h_m$, где каждое из $h_j$ имеет вид $s$ либо $s^{-1}$, где $s\in S$ (количество сомножителей $m$ не фиксировано). Если группа $G$ конечна, то любой элемент $\langle S\rangle$, очевидно(?), можно представить в виде произведения элементов из $S$ (без взятия обратного).
Поэтому запись $G=\langle S\rangle$ означает, что любой элемент группы $G$ представим в виде, который я писал в предыдущем абзаце.

P.S. Надеюсь, нигде не наврал.