Теорема единственности

[DLL]

Пусть две функции $f$ и $g$ комплексной переменной, заданные и аналитичные в некотором круге, совпадают на границе этого круга. Следует ли из этого, что они равны?

[gris]

Если они ограничены, то да. Рассмотрите разность.

[Padawan]

Если функции аналитичны в замкнутом круге (т.е. в некоторой его окрестности), то единственность следует из интегральной формулы Коши. Если функции заданы и аналитичны в открытом круге, то ответ зависит от того, что значит фраза "совпадают на границе этого круга". В каком смысле берутся граничные значения?

[Oleg Zubelevich]

единственность имеет место в классе ограниченных в круге функций и кусочно непрерывных на границе

[DLL]

Предполагается, что $f$ и $g$ непрерывны в замкнутом круге.

Я так понимаю, что это следует из интегральной формулы Коши. Необходимо только интеграл по окружности из области аналитичности устремить к интегралу по границе первоначального круга, что в общем-то несложно ввиду теоремы о гомотопии и непрерывности интеграла. Правильно? :)

[ewert]

DLL в сообщении #622685 писал(а):

Необходимо только интеграл по окружности из области аналитичности устремить к интегралу по границе первоначального круга, что в общем-то несложно ввиду теоремы о гомотопии и непрерывности интеграла. Правильно? :)

Я не знаю, при чём тут "теорема о гомотопии", а устремить можно попросту потому, что функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве (в данном конкретном случае на замкнутом круге) -- равномерно там непрерывна.