2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Теорема единственности
Сообщение23.09.2012, 13:54 
Аватара пользователя
Пусть две функции $f$ и $g$ комплексной переменной, заданные и аналитичные в некотором круге, совпадают на границе этого круга. Следует ли из этого, что они равны?

 
 
 
 Re: Теорема единственности
Сообщение23.09.2012, 14:05 
Аватара пользователя
Если они ограничены, то да. Рассмотрите разность.

 
 
 
 Re: Теорема единственности
Сообщение23.09.2012, 14:37 
Если функции аналитичны в замкнутом круге (т.е. в некоторой его окрестности), то единственность следует из интегральной формулы Коши. Если функции заданы и аналитичны в открытом круге, то ответ зависит от того, что значит фраза "совпадают на границе этого круга". В каком смысле берутся граничные значения?

 
 
 
 Re: Теорема единственности
Сообщение23.09.2012, 16:02 
единственность имеет место в классе ограниченных в круге функций и кусочно непрерывных на границе

 
 
 
 Re: Теорема единственности
Сообщение23.09.2012, 19:29 
Аватара пользователя
Предполагается, что $f$ и $g$ непрерывны в замкнутом круге.

Я так понимаю, что это следует из интегральной формулы Коши. Необходимо только интеграл по окружности из области аналитичности устремить к интегралу по границе первоначального круга, что в общем-то несложно ввиду теоремы о гомотопии и непрерывности интеграла. Правильно? :)

 
 
 
 Re: Теорема единственности
Сообщение23.09.2012, 21:55 
DLL в сообщении #622685 писал(а):
Необходимо только интеграл по окружности из области аналитичности устремить к интегралу по границе первоначального круга, что в общем-то несложно ввиду теоремы о гомотопии и непрерывности интеграла. Правильно? :)

Я не знаю, при чём тут "теорема о гомотопии", а устремить можно попросту потому, что функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве (в данном конкретном случае на замкнутом круге) -- равномерно там непрерывна.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group