производная трансцендентной функции

[gris]

Я просто только сейчас прочитал, что у ТС одно уравнение от n переменных. В общем случае оно задаёт некоторую (n-1)-мерную поверхность в n-пространстве. Как там можно говорить о функциональной зависимости одной переменной от другой и о производных? Я не понимаю.
Вот и попросил пояснить на примере.
Или тут мы фиксируем все переменные, кроме двух, то есть как бы пересекаем поверхность гиперплоскостями, доводя пересечение до кривой?
Тогда, наверное, так и есть. Выделенную переменную считаем неявной функцией остальных и считаем частные производные.
То есть для
$F(x,y,z)=x+y+z=0$ получаем $\dfrac {\partial x}{\partial y}=-\dfrac {1}{1}=-1$
Так?
+ z ни к чему.

[Shtorm]

gris, ну в том примере, который Вы привели получается -1.
А так-то в целом и общем если есть уравнение с n переменными, то разве не связаны они все друг с другом посредством этого одного уравнения? Соответственно зависят друг от друга посредством этого уравнения.

[gris]

Да я просто чего-то забыл. Наверное, с частными производными так и есть.
Поверхность же может задавать выбранную переменную как функцию от остальных (хотя бы локально) и в этом случае вполне можно говорить о частных производных.

[Shtorm]

gris в сообщении #622418 писал(а):

...
То есть для
$F(x,y,z)=x+y+z=0$ получаем $\dfrac {\partial x}{\partial y}=-\dfrac {1+z}{1+z}=-1$
Так?

Только не понятно, что делают $z$ в числителе и знаменателе. Мы же когда берём частные производные не по $z$ - то производная от переменной $z$ будет равна нулю. Если же мы берём частную производную по $z$ то производная от переменной $z$ равна 1.

[Yu/2]

Shtorm в сообщении #622408 писал(а):

Yu/2, ну тогда делаем так. Пусть задана какая-то неявная функция в виде:

$$F(x_1, x_2, x_3,...x_n)=0$$

тогда

$$\dfrac {\partial x_1}{\partial x_2}=-\dfrac {\frac {\partial F}{\partial x_2}}{\frac {\partial F}{\partial x_1}}$$

ну и так далее, и тому подобное.

Но тогда полный дифференциал $F$ -- это $dF = F_{x_1} dx_1 + F_{x_2} dx_2 + ... F_{x_n} dx_n = 0$ и уже нельзя так просто выразить допустим $\dfrac {\partial x_1}{\partial x_2}$, если хотя бы одно из $F_{x_3} , F_{x_4}, ... F_{x_n} dx_n$ не равно нулю.

Т.е., насколько я понимаю, вы временно объявляете все кроме двух переменные константами и дальше уже известным методом выражается производная. Нужно сообразить, насколько это корректно в моем случае.

-- Сб сен 22, 2012 20:48:57 --

gris в сообщении #622418 писал(а):

Или тут мы фиксируем все переменные, кроме двух, то есть как бы пересекаем поверхность гиперплоскостями, доводя пересечение до кривой?
Тогда, наверное, так и есть. Выделенную переменную считаем неявной функцией остальных и считаем частные производные.

Вот я тоже так понял.

[Shtorm]

Вышеприведённые формулы в моём сообщении можно получить не из рассуждений о полном дифференциале (как это делалось в этой теме), а как следствие теоремы о производной функции $F(x, y)=0$, которая доказывается через полное приращение.

Yu/2 в сообщении #622445 писал(а):

Т.е., насколько я понимаю, вы временно объявляете все кроме двух переменные константами и дальше уже известным методом выражается производная. Нужно сообразить, насколько это корректно в моем случае.

Не поленитесь - напишите Вашу функцию. Касательно корректности - должно выполняться условие, что частные производные стоящие в знаменателе не равны нулю.

[Yu/2]

Спасибо за ответы!

А функция, как уже догадался gris, -- это функционал МНК:

$$F = \sum\limits_{i}(A_i - K(x_i | y_1, y_2, ..., y_n))^2$$

где в простейшем случае

$$K(x_i | y_1, y_2, ..., y_n) = \sum\limits_j} g_j \exp(\frac{x^2_i u^2_j }{2}) \frac{\sin(x_i r_j)}{r_j}$$

где $u_j$ и $r_j$ -- сложные функции от $y_1, y_2, ..., y_n$ (записать общий случай невозможно, но там всегда фигурируют тригонометрические функции и степени), частные производные которых (типа $\dfrac {\partial y_2}{\partial y_1}$ и т.д.) мне и нужны.

Но это уже дело техники, главное понятен принцип.