Изоморфизм пространства и факторкольца

[Nagva1]

$R:=K[X], K$-поле.
Пусть $_RV$ циклический примарный $R$-модуль, $_RV \simeq R/<f>, f=\sum_{i=0}^{n}c_ix^i \in R \setminus 0$
Но тогда $\begin{Bmatrix} \bar{1},\bar{x},\bar{x^2},...,\bar{x^{n-1}} \end{Bmatrix}$ - базис $_KV$ (линейное пространство, индуцированное модулем, как-то так..). Понятно, что
$\begin{Bmatrix} \bar{1},\bar{x},\bar{x^2},...,\bar{x^{n-1}} \end{Bmatrix}$ это базис $R/<f>$, но почему это базис лин. пространства?

[AV_77]

Проверьте, что $\bar{1}$, $\bar{x}$, $\ldots$, $\bar{x}^{n-1}$ линейно независимы над $K$ и любой элемент из $R / (f)$ можно представить в виде их линейной комбинации.

[Nagva1]

А, вот как.. Ну тогда всё же не сами $\bar{1}$, $\bar{x}$, $\ldots$, $\bar{x}^{n-1}$ являются базисом $_KV$, а их прообразы в $V$.. (надеюсь, правильно понимаю что речь идёт об $R$-изоморфизме)