"Глубинный смысл" математических понятий

[Munin]

shau-kote
А чего вы хотите? Объясните толком. В чём смысл векторов? Стрелочки такие, отложенные из начала отсчёта. Ну, по крайней мере, этим образом, унаследованным от школьной геометрии, удобно пользоваться. В чём смысл матриц? У них несколько смыслов, наиболее ходовые - линейное преобразование пространства (например, поворот, сжатие, сдвиг, отражение, проекция, их сочетание), и билинейная форма (обобщение понятия скалярного произведения, двум векторам ставит в соответствие число).

Более глубинного смысла у них нет!

"Глубинный смысл" может проявляться, если вы в будущем, во многих и многих местах математики начнёте встречать отсылки к этим понятиям. Например, алгебру функций действительной переменной можно воспринимать как алгебру векторов. В результате на одно понятие "вектора" у вас будет нанизываться всё больше и больше новых образов и приложений, и вы будете вспоминать по слову "вектор" не один образ, а целый пучок. Но это не "глубинный" смысл, а скорее, "широкий". И его нельзя быстро объяснить, а его надо накопить за годы изучения разных разделов математики.

[shau-kote]

Munin, нет, с самими векторами всё понятно.
Вот с произведениями хуже.
Произведение длин на косинус угла. Понятно, "что", понятно "как", неясно лишь "почему" и "зачем". Почему так? Ведь определение выбиралось не просто так, а исходя из каких-то соображений, в него вкладывался какой-то смысл, нет?
Работа - так это весьма узкий смысл, для одной области физики. Произведение вектора и проекции другого вектора на данный - оставляет больше вопросов, чем даёт ответов.
Ещё хуже с векторным произведением. Расписывать не буду, все по аналогии. :\
Абсолютно аналогично с определителями. У меня не вызывает трудностей матаппарат данной теории, у меня вызывают вопросы её определения. Определитель? Зачем определитель? Почему такой?

Ну вот как-то так в целом дело обстоят. :(

[Munin]

shau-kote в сообщении #620799 писал(а):

Произведение вектора и проекции другого вектора на данный - оставляет больше вопросов, чем даёт ответов.

Это, пожалуй, главный образ, нужный для понимания вещей, связанных со скалярным произведением. Он даёт дорожку и к произведению вектора на ковектор, и к произведению в произвольной квадратичной метрике. Представьте, например, что проецирующая плоскость у вас не обязательно нормальна прямой: к каким последствиям это приведёт для математической конструкции?

Какие у вас остаются вопросы?

shau-kote в сообщении #620799 писал(а):

Абсолютно аналогично с определителями. У меня не вызывает трудностей матаппарат данной теории, у меня вызывают вопросы её определения. Определитель? Зачем определитель? Почему такой?

Определитель - это просто $n$-мерный объём, натянутый на $n$ векторов. С учётом ориентации, которая задаёт знак определителя.

"Натянутый" подразумевает аналог параллелограмма или параллелепипеда.

Определитель часто нужен и полезен при взгляде на матрицы как на преобразования. Например, преобразование превращает единичный объём в объём $\operatorname{det}A.$ Если определитель нулевой, то ясно, что объём "сплющили" так, что он превратился в плоскость или линию - короче, меньшую размерность, чем $n.$ Отсюда возникает понятие ранга матрицы. От ненулёвости определителя и от ранга матрицы зависят решения уравнений типа $Ax=b,$ зависят её собственные векторы и значения.

shau-kote в сообщении #620799 писал(а):

Ещё хуже с векторным произведением. Расписывать не буду, все по аналогии. :\

Векторное произведение бывает только в 3-мерном пространстве. Точнее, в $n$-мерном пространстве можно определить "векторное произведение" $n-1$ векторов: это будет площадь $n-1$-мерной площадки, натянутой на них, а вектор перпендикулярный этой площадке, и ориентирован так, что образует с остальными векторами правоориентированную систему. Но на самом деле, такое "векторное произведение" нечасто нужно.

Несколько дальше, у вас могут возникнуть операции с наборами векторов и родственными им объектами: тензорами, внешними формами. Тогда понятия "площадки", "объёма" обретут более конкретный смысл. В этих понятиях, выяснится, что векторное произведение - на самом деле даже не вектор. Но не обязательно забегать вперёд.

[мат-ламер]

А почему должен быть глубинный смысл у векторного произведения векторов? Допустим мы установим, что векторное произведение как-то связано с произведением кватернионов (с нулевой действительной частью). Это что, поможет нам что-то прояснить? Векторное произведение постоянно применяется в физике и упрощает формулировку законов. Это и объясняет естественность этого понятия.

[Munin]

Ну, как раз с векторным произведением "глубинный смысл" есть: это 2-форма в 3-мерном пространстве, и её ходжево сопряжение. На языке 2-форм законы физики формулируются не менее естественно, а иногда даже более, чем на языке векторных произведений.

[alleut]

Может быть, вам в чем-то поможет онлайн курс Introduction to Mathematical Thinking
https://www.coursera.org/course/maththink

[Munin]

Ха, он платный.

[Nemiroff]

Munin в сообщении #621649 писал(а):

Ха, он платный.

Да вроде нет.
http://news.stanford.edu/news/2012/sept ... 90712.html

[Iby]

(Оффтоп)

а на русском есть?

[Yu/2]

Владимир Успенский, "Апология математики".

[Munin]

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #621694 писал(а):

Да вроде нет.

Тогда я не понимаю, в чём смысл sign up.

shau-kote
Чего там с дальнейшими вопросами! Мои пояснения хоть помогли, или это тоже всё не то?

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #621853 писал(а):

Тогда я не понимаю, в чём смысл sign up.

Может, ради этого? И просто регистрация для учета числа человеков.

Цитата:

If you finish the course, you will get a Certificate of Completion, and for those who do well on the coursework and the final exam the certificate will indicate Completion with Distinction.

[Munin]

(Оффтоп)

Мдя... Сертификат "умеет думать как математик"... Что-то мне это не кажется серьёзным...

[arseniiv]

Там содержание какое-то неинтересное. Почти полкурса, кажется, логика. Хотя… кто прослушает, не напишете потом где-нибудь?

[shau-kote]

Nemiroff в сообщении #621694 писал(а):

http://news.stanford.edu/news/2012/sept ... 90712.html

Выглядит очень интересно, но, увы, не думаю, что смогу достаточно быстро это осилить с моим-то знанием английского. :(

Yu/2 в сообщении #621780 писал(а):

Владимир Успенский, "Апология математики".

Наверное, занятная книга, но как я понял из беглого просмотра, конкретные интересующие меня темы там не рассматриваются. Или я чего-то не понял?

Munin в сообщении #621853 писал(а):

Чего там с дальнейшими вопросами! Мои пояснения хоть помогли, или это тоже всё не то?

Кхм. Я искал простой смысл некоторых математических понятий, а Вы выдали мне ещё больше математических понятий. Наверное, с Вашей точки зрения, Вы написали очень понятное объяснение, но не с моей... :\

Munin в сообщении #620803 писал(а):

Векторное произведение бывает только в 3-мерном пространстве. Точнее, в $n$-мерном пространстве можно определить "векторное произведение" $n-1$ векторов: это будет площадь $n-1$-мерной площадки, натянутой на них, а вектор перпендикулярный этой площадке, и ориентирован так, что образует с остальными векторами правоориентированную систему.

Ну как бы это вроде бы и есть его определение. Только "легче" от него не становится.