Матричное уравнение

[buker]

Доброго всем времени суток.
Решая задачу столкнулся с необходимостью найти корень матричного уравнения

$$ X=AXA^{T}+C $$

где все участвующие матрицы естественно квадратные.
Обшарив массу источников, и опробовав решить уравнение аналитически (путем разложения матрицы $A$ на составляющие) не смог прийти к какому-либо намекающему на решение результату.
Все, что надумал (не без помощи товарища Андерсена Т.), так это численное решение задачи, например:

$$ X_{t}=AX_{t-1}A^{T}+C $$

с учетом того, что корни $A$ лежат внутри единичного круга, алгоритм безусловно сойдется, но хотелось бы попытаться найти (или доказать, что нельзя) точное аналитическое решение.

Буду признателен за помощь!

[svv]

Пусть матрица $A$ невырождена, тогда умножим Ваше уравнение на $A^{-1}$ слева:
$A^{-1}X=XA^T+A^{-1}C$
Получаем уравнение вида $AX-XB=C$, которое рассматривается в книге Гантмахера "Теория матриц". В издании 2004 года это глава VIII "Матричные уравнения", параграф 3. Он так и называется: "Уравнение $AX-XB=C$".

Я, признаюсь, сам не читал этот параграф, поэтому его полезности в данном случае оценить не могу.
Будут проблемы с поиском книги -- дам ссылку.

[buker]

О, спасибо за ссылочку.
А подскажите, пожалуйста, из какой книги данное перенаправление?

[svv]

Нет, у меня только сама книга Гантмахера. Я её когда-то пролистывал в поисках ответа на другой вопрос и обратил внимание на это уравнение.

-- Пн ноя 14, 2011 23:06:34 --

Отправил Вам в личном сообщении ссылку на страничку, откуда взял Гантмахера.

[buker]

Отличная книга, спасибо. Все очень красиво и понятно написано.
Оказывается, что данное уравнение имеет бесконечно много корней, в случае если характеристические многочлены матриц $A$ и $B$ имеют общие делители. В противном случае уравнение имеет единственное решение (при этом однородное уравнение

$$ AX-BX=0 $$

имеет только тривиальное решение)
В нашем случае это как раз так, так что дело за малым - найти частное решение неоднородного уравнения

$$ A^{-1}X-XA^{T}=A^{-1}C $$

в общем виде решения найти так и не удалось, но зато единственность есть

[buker]

В процессе использования результатов данной задачи возник еще один момент:
Мы рассматривали, что корни $A$ лежат внутри единичного круга, т.е. разностная схема

$$ X_t=AX_{t-1}A^T+C $$

сходится, поскольку $A\ast A^T$ будет сжимающим оператором.
С другой стороны в том же Гантмахере или, например, Ланкастере ничего не сказано про условия на матрицы $A,B$ в уравнении

$$ AX-BX=C $$

кроме необходимости различия их корней.
Таким образом, выходит, что есть некая разностная схема (отличная от вышеописанной), которая приведет к решению матричного уравнения

$$ X=AXA^T+C $$

в случае, если

$$ ||A||>1 $$

Был бы очень признателен и рад услышать какие-либо соображения на эту тему, поскольку сам что-то зашел в тупик.
Заранее спасибо!

[svv]

Может быть, в этом случае можно умножить уравнение $X=AXA^\top+C$ слева на $A^{-1}$ и справа на $(A^{-1})^\top$ ? Тогда получится
$A^{-1}X(A^{-1})^\top=X+A^{-1}C(A^{-1})^\top$, или
$X=A^{-1}X(A^{-1})^\top+B$, где $B=-A^{-1}C(A^{-1})^\top$.

Идея в том, что оператор $X\mapsto A^{-1}X(A^{-1})^\top$ может быть лучше, чем $X\mapsto AXA^\top$ (особенно, если последний "плохой"). Они, очевидно, взаимно обратны.

[buker]

Спасибо. Да, я уже пробовал такой метод, но новый оператор еще хуже оказался, процесс также расходится.
Поискал в литературе - указанное уравнение называется дискретным уравнением Ляпунова и решать его стоит алгоритмом Бартелса-Стюарта.

[svv]

А какого размера у Вас матрицы?

[buker]

Матрицы произвольного размера квадратные, матрица $C$ - симметричная и положительно определенная, матрица $A$ - сопровождающая.

[svv]

Видно, что матрица $X$ тоже хочет быть симметричной: если $X$ -- решение, то $X+X^\top$ -- также решение.
Антисимметричная же часть (если только она есть) удовлетворяет уравнению $X=AXA^\top$.
Это я к тому, что можно искать их раздельно. (На самом деле, скорее всего, $X$ просто симметрична).

[buker]

Согласно Теореме в Гантмахере решение уравнения единственно.
Далее, если ассиметричная часть удовлетворяет условию $X=AXA^T$ - согласно тому же Гантмахеру единственное решение данного уравнения является тривиальным, т.е. ассиметричная часть нулевая.
Более того, согласно теореме Ляпунова $X$ симметрична и положительно определена только если $A$ сходящаяся, т.е. $||A||<1$, что несогласуется с нашим предположением о виде матрицы $A$
Таким образом решение точно есть симметричная матрица причем она не может быть положительно определенной.
Ваше предположение подтвердилось

[g______d]

Мне не понравилась книжка Гантмахера. Я долго допирал, что модуль --- это определитель :)

Что касается $AX-XB=Y$: если спектры $A$ и $B$ не пересекаются, то частное решение можно найти в виде

$$ \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\Gamma}(A-zI)^{-1}Y(B-zI)^{-1}\,dz$, где контур $\Gamma$ обходит один раз вокруг спектра $A$ и 0 раз вокруг спектра $B$. Он впервые доказан в этой работе

M. Rosenblum, "On the operator equation BX-XA=Q", Duke Math. J. 23 (1956) 263--270

и верен в очень широких предположениях.

[buker]

Спасибо, очень интересная штука!обязательно попробую воспользоваться формулой

[slava7280]

Формула помогла справиться с уравнением, огромное спасибо Вам!