производная трансцендентной функции

[Yu/2]

Здравствуйте,
у меня есть функция $z = f(x,y)$ трансцендентная относительно $x$ и $y$. Можно ли как-то вычислить производные $\frac{\partial y}{\partial x}$ и $\frac{\partial x}{\partial y}$ ?

Я представляю себе, как это можно решить численно, но не знаю как это сделать алгебраически. В явном виде функция записывается очень громоздко, я ее специально не привожу. Просто подскажите в какую сторону копать. Или может быть есть хорошие тексты на эту тему?

[alisa-lebovski]

Если трансцендентная, то как можно сделать алгебраически? Нельзя. Кроме каких-то частных случаев.

[Sonic86]

alisa-lebovski в сообщении #621621 писал(а):

Если трансцендентная, то как можно сделать алгебраически? Нельзя. Кроме каких-то частных случаев.

А $\arctg(x+y)$ - это трансцендентная функция?

[alisa-lebovski]

Это частный случай.

[Shtorm]

Yu/2, у Вас функция двух переменных известна. Вы пробовали выразить у через $z$ и $x$, и соответственно $x$ через $y$ и $z$?

[Yu/2]

Shtorm в сообщении #621652 писал(а):

Yu/2, у Вас функция двух переменных известна. Вы пробовали выразить у через $z$ и $x$, и соответственно $x$ через $y$ и $z$?

Это невозможно. Под трансцендентностью я подразумевал именно это.

-- Пт сен 21, 2012 12:56:33 --

Sonic86 в сообщении #621625 писал(а):

А $\arctg(x+y)$ - это трансцендентная функция?

Нет.

[gris]

А не имеете ли Вы в виду неявную функцию?
Ну типа когда $z(x,y)=x +e^{xy}-y^2=0$

[CptPwnage]

В этом случае тогда легко, есть теорема по этому поводу, но можно вывести и так:
$0=dz=z_x dx + z_y dy \Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{z_x}{z_y}$, если $z_y \neq 0$, иначе можно выразить наоборот $\frac{dx}{dy}$.

[Shtorm]

Yu/2 в сообщении #621775 писал(а):

Sonic86 в сообщении #621625 писал(а):

А $\arctg(x+y)$ - это трансцендентная функция?

Нет.

Любая элементарная функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.

[Yu/2]

Shtorm в сообщении #621827 писал(а):

Любая элементарная функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.

gris в сообщении #621790 писал(а):

А не имеете ли Вы в виду неявную функцию?
Ну типа когда $z(x,y)=x +e^{xy}-y^2=0$

Похоже, я неправильные термины выбрал. Тогда да, она неявная, т.е. я не могу выразить $x$ отдельно от $y$. И мне нужны частные производные.

-- Пт сен 21, 2012 22:02:15 --

CptPwnage в сообщении #621818 писал(а):

В этом случае тогда легко, есть теорема по этому поводу, но можно вывести и так:
$0=dz=z_x dx + z_y dy \Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{z_x}{z_y}$, если $z_y \neq 0$, иначе можно выразить наоборот $\frac{dx}{dy}$.

О, спасибо, надо разобраться с этим.

[Shtorm]

Yu/2, посмотрите Вам CptPwnage предложил решение. (опа, опоздал с этим сообщением)

[Yu/2]

CptPwnage в сообщении #621818 писал(а):

В этом случае тогда легко, есть теорема по этому поводу, но можно вывести и так:
$0=dz=z_x dx + z_y dy \Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{z_x}{z_y}$, если $z_y \neq 0$, иначе можно выразить наоборот $\frac{dx}{dy}$.

Хм, тут такое дело... Я начальный пример несколько упростил, а на самом деле у меня переменных сильно больше двух. Тогда таким способом уже нельзя выразить все нужные мне производные. И что в этом случае делать?

[Shtorm]

Yu/2, ну тогда делаем так. Пусть задана какая-то неявная функция в виде:

$$F(x_1, x_2, x_3,...x_n)=0$$

тогда

$$\dfrac {\partial x_1}{\partial x_2}=-\dfrac {\frac {\partial F}{\partial x_2}}{\frac {\partial F}{\partial x_1}}$$

$$\dfrac {\partial x_1}{\partial x_3}=-\dfrac {\frac {\partial F}{\partial x_3}}{\frac {\partial F}{\partial x_1}}$$

$$\dfrac {\partial x_2}{\partial x_3}=-\dfrac {\frac {\partial F}{\partial x_3}}{\frac {\partial F}{\partial x_2}}$$

ну и так далее, и тому подобное.

[gris]

Интересно, как можно один уравнением попарно функционально связать три переменные
Нет, очень специфическим можно, разумеется, типа там нулевой суммы квадратов выражений. Я в общем случае.
Например, $x+y+z=0$
Вот бы узнать производную $x$ по $y$.

[Shtorm]

gris, а чем не подходят вышеприведённые формулы?