Задача по электродинамике

[Quant]

Помогите пожалуйста разобраться со следующей задачкой:
"Записать выражение для плотности заряда с дипольным моментом $\vec{P}$ ".

Как я делал: Помещаю отрицательный заряд в начало координат, записываю потенциал двух зарядов, пишу мультипольное разложение, в котором оставляю только член 1го порядка малости. Получается:
$\varphi (\vec{r}) \approx \displaystyle \frac{(\vec{P},\vec{r})}{r^3}$.
Далее,
$ \Delta ( \frac{(\vec{P},\vec{r})}{r^3} )=P_x \Delta(\frac{x}{r^3})+P_y \Delta(\frac{y}{r^3})+P_z \Delta(\frac{z}{r^3})= \frac{3(\vec{r},\vec{P})}{r^2} \Delta(\frac{1}{r})=\frac{3(\vec{r},\vec{P})}{r^2} \cdot (-4 \pi \delta(\vec{r}))= \\ =-4 \pi \rho(\vec{r})$.

Тогда $\rho(\vec{r})=\frac{3(\vec{r},\vec{P})}{r^2} \delta(\vec{r}).$.

Нашел в задачнике Батыгина, Топтыгина похожую задачку (Гл.2, №99), но там ответ (точнее, нужное выражение выписано в условии) задачки совсем другое и вроде как не приводится к тому, что я получил...Подскажите, где я ошибся?

[Hi4ko]

Есть же формула для плотности энергии электрического поля:

$\rho = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}$

Напряжённость вычисляете по принципу суперпозиции полей, создаваемыми отдельными зарядами

[Quant]

Это я знаю, но где ошибка в моем подходе...?

[Hi4ko]

Quant в сообщении #621012 писал(а):

Это я знаю, но где ошибка в моем подходе...?

(Оффтоп)

Я в 11 классе такого не проходил, как ни странно :(

[obar]

Quant в сообщении #621012 писал(а):

Это я знаю, но где ошибка в моем подходе...?

Неправильно вычислили лаплас. Если посчитать правильно, то получится

$$ \Delta(\vec{p}\frac{\vec{r}}{r^3})=4\pi(\vec{p}\nabla)\delta(\vec{r}) $$

откуда

$$ \rho(\vec{r})=-(\vec{p}\nabla)\delta(\vec{r}). $$

То же получается, если сразу разложить выражение для плотности заряда

$$ \rho(\vec{r})=q(\delta(\vec{r}-\vec{l})-\delta(\vec{r})) $$

в ряд по $\vec{l}$ и ограничиться первым членом разложения.

[Quant]

obar в сообщении #621029 писал(а):

Quant в сообщении #621012 писал(а):

Это я знаю, но где ошибка в моем подходе...?

Неправильно вычислили лаплас. Если посчитать правильно, то получится

$$ \Delta(\vec{p}\frac{\vec{r}}{r^3})=4\pi(\vec{p}\nabla)\delta(\vec{r}) $$

откуда

$$ \rho(\vec{r})=-(\vec{p}\nabla)\delta(\vec{r}). $$

То же получается, если сразу разложить выражение для плотности заряда

$$ \rho(\vec{r})=q(\delta(\vec{r}-\vec{l})-\delta(\vec{r})) $$

в ряд по $\vec{l}$ и ограничиться первым членом разложения.

Спасибо за Ваш ответ! Ниже привожу свои выкладки:

$$ \Delta (\frac{(\vec{P}, \vec{r})}{r^3})= \Delta (\frac{P_x x}{r^3}+\frac{P_y y}{r^3}+\frac{P_z z}{r^3})= P_x \Delta (\frac{x}{r^3})+P_y \Delta (\frac{y}{r^3})+P_z \Delta (\frac{z}{r^3}) $$

$$ \Delta (\frac{x}{r^3})=x \Delta (\frac{1}{r^3})+2 (\nabla x, \nabla \frac{1}{r^3}). $$

$$ \Delta (\frac{1}{r^3})=\frac{1}{r} \Delta (\frac{1}{r^2})+\frac{1}{r^2} \Delta (\frac{1}{r}) + 2 (\nabla \frac{1}{r},\nabla \frac{1}{r^2})= \frac{2}{r^2} \Delta (\frac{1}{r})+\frac{1}{r^2} \Delta (\frac{1}{r})+2 (\nabla \frac{1}{r}, \nabla \frac{1}{r^2})= $$

$$ =\frac{3}{r^2} \Delta (\frac{1}{r})+ \frac{2}{r} (\nabla \frac{1}{r}, \nabla \frac{1}{r})+2 (\nabla \frac{1}{r}, \nabla \frac{1}{r^2})=\frac{3}{r^2} \Delta (\frac{1}{r})+\frac{6}{r^5} $$

$$ 2 (\nabla x, \nabla \frac{1}{r^3})=2 \cdot \frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{r^3})=-\frac{6x}{r^5} $$

Таким образом,

$$ \Delta (\frac{x}{r^3})=\frac{3x}{r^2} \Delta (\frac{1}{r}) $$

и

$$ \Delta (\frac{(\vec{r},\vec{P})}{r^3})=\frac{3 (\vec{r},\vec{P})}{r^2} \Delta (\frac{1}{r})=\frac{3 (\vec{r},\vec{P})}{r^2} \cdot (-4 \pi \delta (\vec{r})) $$

Не могли бы Вы сказать, где тут ошибка?

[obar]

Честно говоря, лень искать у вас ошибку. Я считал по другому.
Воспользовался равенством

$$\Delta=\mathrm{div}\nabla$$

и тождеством

$$\nabla(\vec{a}\vec{b})=\vec{a}\times(\nabla\times\vec{b})+\vec{b}\times(\nabla\times\vec{a})+(\vec{a}\nabla)\vec{b}+(\vec{b}\nabla)\vec{a}$$

[Quant]

obar в сообщении #621056 писал(а):

Честно говоря, лень искать у вас ошибку. Я считал по другому.
Воспользовался равенством

$$\Delta=\operatorname{div}\nabla$$

и тождеством

$$\nabla(\vec{a}\vec{b})=\vec{a}\times(\nabla\times\vec{b})+\vec{b}\times(\nabla\times\vec{a})+(\vec{a}\nabla)\vec{b}+(\vec{b}\nabla)\vec{a}$$

Эх, пока дошел до

$$ \nabla (\frac{(\vec{P}, \vec{r})}{r^3})=(\vec{P},\nabla) \frac{\vec{r}}{r^3} $$

Дальше пока ничего хорошего не получается...

[obar]

$$ \mathrm{div}((\vec{P},\nabla) \frac{\vec{r}}{r^3})= (\vec{P},\nabla) \mathrm{div}(\frac{\vec{r}}{r^3})=- (\vec{P},\nabla) \mathrm{div}\nabla(1/r)=-(\vec{P},\nabla)\Delta(1/r). $$

[Quant]

Спасибо большое!