Чему равно бесконечность делить на 0?

[Renaldas]

Собственно, вопрос в заголовке ...

[gris]

А зубы не будете сверлить?
Если имеются в виду случаи предельных неопределённостей, то — бесконечности (с неопределённым знаком).
То есть предел частного двух функций при стремлении числителя к бесконечности, а знаменателя к нулю (при этом знаменатель не должен обращаться в ноль в какой-то проколотой окрестности предельной точки), равен бесконечности. Иными словами отношение бесконечно большой функции к бесконечно малой (с указанным ограничением) есть бесконечно большая функция.
Символически это может обозначаться $\dfrac {\infty}{0}=\infty$, но знак дробной черты и слово "делить" не означают операцию деления.
В обычном смысле операцию деления к символу бесконечности применять некорректно, нельзя.

[ИСН]

Бесконечности вообще нет (в смысле - среди чисел, которые можно умножать, делить и др.), поэтому нет не только ответа, но и вопроса.

[Renaldas]

gris в сообщении #620036 писал(а):

А зубы не будете сверлить?
Если имеются в виду случаи предельных неопределённостей, то — бесконечности (с неопределённым знаком).
То есть предел частного двух функций при стремлении числителя к бесконечности, а знаменателя к нулю (при этом знаменатель не должен обращаться в ноль в какой-то проколотой окрестности предельной точки), равен бесконечности. Иными словами отношение бесконечно большой функции к бесконечно малой (с указанным ограничением) есть бесконечно большая функция.
Символически это может обозначаться $\dfrac {\infty}{0}=\infty$, но знак дробной черты и слово "делить" не означают операцию деления.
В обычном смысле операцию деления к символу бесконечности применять некорректно, нельзя.

Логика шепчет, что делить на ноль любое число уже будет бесконечность, а когда саму бесконечность делим на ноль, хочется получить какую-то сверхбесконечность. Нет такого понятия в математике, все бесконечности одинаковы?
Как только выясню, сразу за зубы сяду :)

[gris]

В обычном смысле операция деления просто не определяется для знаменателя, равного нулю. Поэтому число нельзя поделить на ноль. Мы не получим ничего, в том числе и бесконечности. Вы наверняка имеете в виду символическую запись предела частного числа и бесконечно малой функции.
Понятие"супербесконечности" у Вас, скорее всего, пришло из теории множеств. Множество всех бесконечных последовательностей некоторого множества имеет мощность большую, чем мощность этого множества.
Для получения супербесконечности, если уж так хочется, я бы посоветовал использовать символ $2^{\infty}$. В этом случае при известном красноречии можно придать выражению некий смысл супербесконечности

[Shtorm]

gris в сообщении #620055 писал(а):

придать выражению некий смысл супербесконечности

Но ведь в математике-то нет такого термина! В пределах умножение бесконечности на бесконечность, сложение бесконечностей, возведение бесконечности в степень бесконечность и т.д. - всегда даёт просто бесконечность!

[Nemiroff]

Shtorm в сообщении #620062 писал(а):

В пределах умножение бесконечности на бесконечность, сложение бесконечностей, возведение бесконечности в степень бесконечность и т.д. - всегда даёт просто бесконечность!

Зато бесконечности бывают разные.

[gris]

Приходит мужик к зубному, а она ему: "Ну что, Петров, помнишь, как в пятом классе меня дразнил, что я на ноль делю?"
Shtorm, я имел в виду поговорить об ординалах под зуд бормашины.

[arseniiv]

Есть же нестандартный анализ. Там этих бесконечностей — ну просто завались! Другое дело, что всегда можно обойтись обычным анализом, где есть только «конечные» числа…

Смысл в определённом значении $\infty/0$ есть только тогда, когда мы ещё определяем, как эту $\infty$ с другими [вещественными] числами складывать, умножать… — увы, если всё нужное определить, получится уже противоречивая теория, в которой можно вывести что-то вроде $1=2$. И не важно, какое конечное (насчёт бесконечного не уверен) количество бесконечностей добавляется — можно одну беззнаковую добавить, можно две $\pm\infty$.

А вот, кстати, если рассматривать натуральные числа, их можно естественным образом расширить до чисел с бесконечностями (аж двумя способами. Один из них — упомянутые grisом т. н. ординалы (или порядковые числа)). Можно брать мощности множеств — т. к. есть бесконечные множества разной мощности, получится много разных бесконечных «чисел». Но деление на них уже не получается определить — то надо выбирать из нескольких значений, а то ни одного подходящего.

P. S. Надеюсь, я не сильно там с дополнением $\mathbb R$ бесконечностями (и вообще) наляпал… Уж очень хотелось поболтать.

[apriv]

arseniiv в сообщении #620083 писал(а):

Есть же нестандартный анализ. Там этих бесконечностей — ну просто завались! Другое дело, что всегда можно обойтись обычным анализом, где есть только «конечные» числа…

На 0 делить нельзя даже в нестандартном анализе. Вот поделить бесконечно большую на бесконечно малую — сколько угодно; и получить бесконечно большую более высокого порядка, если очень хочется.

[arseniiv]

(Оффтоп)

В первом абзаце я про деление и не заикался!

[Профессор Снэйп]

Renaldas в сообщении #620048 писал(а):

...все бесконечности одинаковы?

Кантор говорит "нет"!

[Sergey Marachuk]

1

[Toucan]

Sergey Marachuk, предупреждение за бессодержательный некропостинг и подъем темы неинформативным сообщением.

[dauh]

Вспоминаем что такое трансфинитные числа... 1 разделить на 0 - бесконечность. Бесконечность умножить на бесконечность приблизительно равно мощность континуума