Дифференциальные формы и векторные поля

[David Sunrise]

Прошу помочь с решением такой задачи:
У меня есть несколько пар: которые состоят из векторного поля и 1-формы(ковекторное поле),и нужно понять для каких двух пар существует замена координат переводящая одну пару в другую...

Я понимаю как решить данную задачу в "лоб" (пространства двойственные и все такое) ,но это очень муторно возня с матрицами,потом решение дифференциальных уравнений....и.т.д...

Может существует другой способ определить существование такой замены координат,может какой нибудь инвариант относительно любой замены координат определяемый векторным и ковекторным полем,нельзя ли как нибудь решить это с помощью значения 1-формы на векторном поле?

Вообщем помогите разобраться,сам не справляюсь.

[Munin]

По-моему, вектор в ковектор никакие замены координат перевести не могут.

[David Sunrise]

Да да конечно вы правы ,я имею в виду другое: одна пара $(v,k)$ переводится в другую $(v',k')$ где $v,v'$-векторные поля а $k,k'$-ковекторные, и переводятся они с помощью замены координат,соответственно...векторные в векторные ,ковекторные в ковекторные....
Понятно ведь что если у нас есть преобразование координат в векторном пр-ве то оно порождает и преобразование в ковекторном...

[Munin]

Ковектор можно геометрически себе представить как набор параллельных "линий уровня". Поэтому я вижу только один вариант, когда пара вектор-ковектор не перейдёт в другую такую пару. А именно, вектор может лежать на линии уровня ($(k,v)=0$) или не лежать, и это свойство должно сохраняться... Стоп, это же число, и оно должно как число сохраняться, $(k,v)=(k',v').$ Других инвариантов я не вижу. Как я понимаю, метрики нет, и норму вектора и ковектора посчитать нельзя, можно только определить, равны ли они нулю или не равны (о, ещё пара инвариантов, но довольно скучных). Короче, вот эти три поля (скалярное и два дискретных) должны переводиться друг в друга заменой координат. При каких условиях это бывает - я теряюсь, задача какая-то сложная, наверное, топологическая. Да и достаточно ли этих трёх полей, может быть, там ещё какие-нибудь интегральные линии должны переводиться друг в друга... Это учебная задача или на диссертацию?

[David Sunrise]

Munin в сообщении #619809 писал(а):

($v,k$)$=0$

Munin в сообщении #619809 писал(а):

Стоп, это же число, и оно должно как число сохраняться,$(v,k)=(v',k')$

Я видимо опять не понятно написал, в любом случае нужно уточнить что мы друг друга понимаем...под записью $(v,k)$ я не подразумеваю никакой математической операции ,я подразумеваю что есть просто векторное поле и ковекторное поле....

-- Вс сен 16, 2012 21:36:26 --

это учебная задача по дифференциальной геометрии

-- Вс сен 16, 2012 21:38:21 --

Спрашивайте если что то не понятно в моей формулировке...

-- Вс сен 16, 2012 21:53:32 --

Потому что судя из вашего сообщения,задача вам кажется намного сложнее чем есть на самом деле.

[Munin]

Я понимаю, что под записью $(v,k)$ вы не понимаете никакой операции. Но я под записью $(k,v)$ понимаю стандартное скалярное произведение ковектора на вектор. Могу обозначать его как вам удобнее, просто я других обозначений не знаю (а, ещё индексное, $k_iv^i$).

[g______d]

Возможно, это прозвучало выше, но тем не менее: для существования решения необходимо, чтобы спаривания $\langle v,k\rangle$ и $\langle v',k'\rangle$ совпадали, т. к. любое преобразование координат сохраняет значение формы на векторном поле.

Существование (локально) я умею тоже доказывать только в лоб: пусть в координатах дифференциал (матрица Якоби) этого преобразования равна $A$. Тогда есть 2 уравнения: $Av=v'$, $A^T k'=k$. Можно выбрать координаты так, чтобы $v$ был первым базисным вектором. Тогда первое уравнение --- это условие на то, что первый столбец матрицы $A$ равен $v'$. Теперь смотрим на вторую систему уравнений ($A^T k'=k$). Первое уравнение этой системы --- это как раз условие спаривания. Остальные $n-1$ уравнений --- это то, что $(n-1)\times n$-матрица ($A^T$ без первой строки) при действии на $(n-1)$-мерный вектор, получающийся из $k'$ выкидыванием первой компоненты, --- это вектор $k$ без первой компоненты. И уравнение это на матрицу. Ясно, что решений очень много. Наверняка можно выбрать это решение непрерывно зависящим от точки (например, наложив еще какое-то условие).

Но я не знаю, можно ли это сделать глобально на произвольном многообразии, особенно некомпактном.

-- 16.09.2012, 23:07 --

Хотя я, наверное, не совсем то строю. Нам же нужен один диффеоморфизм, а не однопараметрическая группа диффеоморфизмов. Т. е. в общем виде это будет уравнение в частных прозводных?

[Munin]

(Оффтоп)

Обогатился словом "спаривание" и угловыми скобками. Впрочем, всё равно скобки забуду... И зачем вектор ставить впереди ковектора, это же так неестественно?..

[g______d]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #619852 писал(а):

Обогатился словом "спаривание" и угловыми скобками. Впрочем, всё равно скобки забуду... И зачем вектор ставить впереди ковектора, это же так неестественно?..

Ну это было случайно. В принципе, наверняка есть идеология, о том, почему так правильно, но я ее не придерживаюсь :)

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #619843 писал(а):

Существование (локально) я умею тоже доказывать

пожалуйста сформулируйте это в виде теоремы

[David Sunrise]

Munin,все нет проблем,сейчас я понял ....обозначайте как обозначали...

g______d,

g______d в сообщении #619843 писал(а):

любое преобразование координат сохраняет значение формы на векторном поле

вот на счет этого я только догадывался,спасибо за уточнение что это правда.
Прошу прощение за позднее уточнение:работаем в двумерном случае...
Эммм....не совсем все понял что вы написали в решении в "лоб",но:
Вот конкретно:
есть пара векторное поле и ковекторное: $A=(1-y)\partial x+y^2\partial y$ и $B=(1+y)dy+dx$
и допустим другая пара: $A'=(1+y)\partial x-x\partial y$ и $B'=(1+y)dy+xdx$
дак вот решение в лоб:пусть есть преобразование координат $u=f(x,y),v=g(x,y)$
тогда как и вы написали базис будет преобразовываться так $(\partial u,\partial v)=(\partial x,\partial y)A$,A-матрица Якоби...
Далее подставляем получившиеся выражения для $\partial u$ и $\partial v$ а так же $u=f(x,y),v=g(x,y)$ в $A'$ (предварительно заменив в $A'$ x на u ,y на v ) и приравниваем к $A$,там получаем диф уравнения и решаем,потом все почти тоже самое с ковекторными полями $B,B'$ только там преобразование с помощью $(A^T)^{-1}$.....и.т.д...все очень долго и и муторно...
Теперь вернемся к

g______d в сообщении #619843 писал(а):

любое преобразование координат сохраняет значение формы на векторном поле

Правильно ли я понимаю из этого что можно вычислить значение $A$ на $A'$ потом $B$ на $B'$ ну и сравнить если равны существует такая замена координат переводящая первую пару в другую ,не равны - не существует

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #619859 писал(а):

пожалуйста сформулируйте это в виде теоремы

Уже понял, что не умею.

-- 17.09.2012, 00:17 --

David Sunrise в сообщении #619869 писал(а):

Правильно ли я понимаю из этого что можно вычислить значение $A$ на $A'$ потом $B$ на $B'$ ну и сравнить если равны существует такая замена координат переводящая первую пару в другую ,не равны - не существует

Если я правильно понял обозначения, то очевидно только "не равны - не существует".

-- 17.09.2012, 00:32 --

Давайте я лучше приведу пример, когда равны и не существует. Смотрите, для любой 1-формы $\omega$ на компактном многообразии, не обращающейся в нуль, существует векторное поле, такое что его спаривание с этой формой тождественно равно единице. Действительно, на этом многообразии существует такая риманова метрика, что $\|\omega(x)\|=1$ в любой точке $x$. Здесь норма --- та, что получается переносом метрики на кокасательное пространство. Такую метрику можно получить, отнормировав произвольную метрику. Теперь подействуем римановой метрикой на эту форму, получим векторное поле, спаривание которого с этой формой равно единице.

Таким образом, достаточно привести пример двух не обращающихся в нуль 1-форм, таких что одна не получается из другой при диффеоморфизме. Ну, например, возьмем на торе $S^1\times S^1$ форму $d \varphi_1$ и $d\varphi_1+\varepsilon f(\varphi_1)d\varphi_2$, где $\varepsilon$ мало. Одна замкнута, вторая нет, так что друг из друга заменой координат получаться не могут.

[alcoholist]

Замена координат -- это диффеоморфизм. Обзовем искомый диффеоморфизм, переводящий пару $(k,v)$ в $(k',v')$ буковкой $f$.

Векторные поля переносятся прямо, а ковекторные -- обратно, поэтому

$$ f^*k(v)=k(f_* v), $$

т.е. необходимое условие -- равенство функций $k'(v)=k(v')$ .

-- Пн сен 17, 2012 09:36:14 --

И, разумеется, не всякое в.п. можно перевести в данное в.п. диффеоморфизмом: $\operatorname{Diff} M$ действует на модуле сечений расслоения $TM$ вообще говоря не транзитивно.

[Munin]

alcoholist в сообщении #619968 писал(а):

необходимое условие -- равенство функций $k'(v)=k(v')$ .

Ох ешкин кот! А нельзя это как-нибудь выразить в виде, чтобы по одну сторону знака равно стояли только штрихованные величины, а по-другую - только нештрихованные?

[alcoholist]

Munin в сообщении #620086 писал(а):

А нельзя это как-нибудь выразить в виде

не, перенос в разные стороны