Работа силы тяжести тела переменной массы

[phys]

Тело движется по четверти окружности. Допустим что тело лежит на земле, начало системы координат тоже на земле (то-есть радиус-вектор в начале движения горизонтален). Мешок с песком (для примера) начинает двигаться под дуге окружности вверх, в процессе движения с него ссыпается песок. Дело происходит в одной плоскости перп. земле. Координата - $\varphi$, начало отсчета от поверхности земли.



И так, элементарная работа силы тяжести:

$$dA = m(\varphi)g dy$$

где $dy$ - малый подъем мешка вверх.

Можно сказать, что:

$$dy = ds \sin(\varphi)$$

... где $ds$ - длина дуги окружности по которой движется мешок.

В свою очередь - $ds = Rd\varphi$

Тогда:

$$dA = mgR\sin(\varphi)d\varphi$$

И работа по подъему на 90 градусов:

$$A = \int\limits_0^{\pi/2} m(\varphi)gR\sin(\varphi)d\varphi$$

Однако подсчет интеграла дает какое то сумашедшее значение, что неправильно? Задачка то для первокурсника...

[obar]

$dy=ds\cos\varphi$

[Munin]

Ещё у вас куда-то переменность массы потерялась, под интегралом $m(\varphi).$

[EtCetera]

И $g$ пропала...

[phys]

Все равно получается фантастическое число, причем тоже самое :) Там задача чуть сложнее и кривоватее, но в целом тоже самое. Значит ошибка где то в другом месте.

Munin, ну это очепятка. EtCetera, это тоже очепятка :)

$\text{integral(0.82 * 9.8 * cos(pi*(x+14)/180) * (6300-93.3x), 30, 45)}$

Вот такую штуку я считаю. Тут $x$ в роли угла. $(6300-93.3x)$ в роли $m(\varphi)$ В интервале от 30 до 45 градусов масса груза начинает меняться, до этого при подьеме от ноля до 30 она постоянна. $x+14$, это скажем так, в моей задаче ось обобщенной координаты повернута по часовой стрелке на 14 градусов от горизонтали. Там работа при подьеме груза массой 3500кг. на почти пол метра 13700, а тут интеграл получается 210000, это учитывая что при угле от 30 до 45 градусов масса меняется равномерно от 3500кг до 2100 а подьем составляет гораздо меньше.

[Munin]

phys в сообщении #619806 писал(а):

Все равно получается фантастическое число, причем тоже самое :)

Быть не может. У вас же песок высыпается. В одном случае у вас усиливалась часть графика, где он почти высыпался, а в другом - где ещё почти не высыпался. Что-то у вас совсем накосячено, если так.

Если вы пишете не математическую формулу, а команду для программы, удобней использовать тег tt.
integral(0.82 * 9.8 * cos(pi*(x+14)/180) * (6300-93.3x), 30, 45)
Ещё совет: побольше используйте именованные константы.

Думаю, всё дело просто в том, что заменяя единицу измерения с радианов на градусы, вы забыли весь интеграл помножить на коэффициент $\tfrac{\pi}{180}.$ С его учётом, у вас будет не 210 тысяч, а скромные 3 с половиной тысячи.

[phys]

Можно поподробнее зачем его умножать на $\frac {\pi} {180}$ Я всю голову сломал уже :)

[EtCetera]

$\int\limits_a^b f(x)\,dx=c\int\limits_{a/c}^{b/c} f(cy)\,dy$

[phys]

Так, поставлю задачу более точно, и приведу полное решение. Где то меня что то не вяжется, что блин не то...

Подымая кузов с песком на угол от 0 до 45 градусов, его масса меняется так:

$ \begin{cases} m = 3500, \qquad \qquad \quad \varphi = 0...30 \\ m = 6300 - 93.3\varphi, \qquad\varphi = 30...45 \end{cases} $

$\varphi$ в градусах. Тоесть до 30-ти градусов она постоянная, потом убывает равномерно до $2100$кг.



Нужно посчитать работу силы тяжести груза при его подъеме. Учесть, что расстояние $h_{S4}$ уменьшается пропорционально уходу массы, тоесть центр масс только "падает". (точка $S4$ - центр масс груза.)

На участке $0...30$ все легко и просто: $A_1 = mg\Delta y$

На участке $30...45$ все сложнее.
В общем случае работа при такого рода повороте, как уже было выяснено:

$$\dfrac{g\pi}{180} \int\limits_{1}^{2} m(\varphi)R(\varphi)cos(\frac {\pi \varphi}{180})d\varphi$$

(в градусах тут удобнее, скажем так)

Это в случае если начальный угол отсчитывается от горизонтали. У меня он чуть больше, потому добавляем константу (примерно 30 градусов). Это раз. Расстояние до центра масс по мере ссыпания груза так же меняется. Сделал линейную аппроксимацию (ну, взял расстояние начальное, конечное, получил зависимость $R(\varphi) = 1,21 - 0.004\varphi$ для $\varphi = 30...45$).

Итого:

$$\dfrac{g\pi}{180} \int\limits_{30}^{45} (6300-93.3\varphi)(1,21 - 0.004\varphi)cos(\frac {\pi (\varphi + 30)}{180})d\varphi$$

Считаю, получаю значение, порядок которого меня устраивает, но вообще хотелось бы раза в полтора меньше, ошибка либо тут, либо, ну либо не тут, второй вариант в процессе проверки. Я все таки думаю где то тут есть капитальный косяк, который я никак не могу заметить.

-- Вс сен 23, 2012 23:01:25 --

Апдейт. Еще кое что прикинул в экселе. Ошибка точно тут, больше негде, у всего остального получается погрешность примерно в 1% что вполне допустимо.

[Munin]

phys в сообщении #622760 писал(а):

Нужно посчитать работу силы тяжести груза при его подъеме.

По-моему, это задача какая-то не очень чётко определённая. Вот работа по подъёму груза - это почётче. И может быть решена вообще безо всяких сил, чисто с потенциальной энергией и геометрией (каждую песчинку поднимают до некоторой высоты, а потом она высыпается, может быть, и её больше не поднимают); вот правда, геометрия там будет замороченная.

[phys]

Проблема решена сама собой :)