Банах

[LeonDevil]

Подскажите такую вещь.
Верно ли утверждение: Пусть $U$ и $F$ - нормированные пространства, $U$ - банахово. $A$ - непрерывный, линейный оператор, действующий из $U$ в $F$, $R(A)=F$ ($R(A)$ - образ), ТОГДА $F$ - тоже банахово.

[Oleg Zubelevich]

нет

[LeonDevil]

Oleg Zubelevich
Why not?

[ewert]

Например, потому, что образ непрерывного оператора вовсе не обязан быть замкнутым. Собственно, в типичных случаях замкнутость образа сводится к ограниченности обратного оператора, что далеко не факт.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #619735 писал(а):

Например, потому, что образ непрерывного оператора вовсе не обязан быть замкнутым.

Читайте вопрос как следует. В той постановке, которая предложена, образ обязательно замкнут. Потому, что любое нормированное пространство (и вообще топологическое) замкнуто.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #619752 писал(а):

В той постановке, которая предложена, образ обязательно замкнут. Потому, что любое нормированное пространство (и вообще топологическое) замкнуто.

Увы. Там по формулировке образ был не только топологическим (и даже не только нормированным), но -- именно банаховым.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #619758 писал(а):

Увы. Там по формулировке образ был не только топологическим (и даже не только нормированным), но -- именно банаховым.

вот и не путайте замкнутость и полноту

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #619764 писал(а):

не путайте замкнутость и полноту

Увы. Там же "на" было. И хотя русский язык велик и могуч, но в данном конкретном случае посылка по адресу интерпретируется вполне однозначно.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #619816 писал(а):

Увы. Там же "на" было

где было "на" и причем это тут?

Вот это "объяснение" :

ewert в сообщении #619735 писал(а):

Например, потому, что образ непрерывного оператора вовсе не обязан быть замкнутым.

неверено по сути. Поскольку как раз в постановке ТС образ замкнут:

LeonDevil в сообщении #618805 писал(а):

R(A)=F

просто потому, что любое топологическое пространство замкнуто и в частности F.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #619851 писал(а):

Поскольку как раз в постановке ТС образ замкнут:

Постановка ТС допускает, что образ содержится во входном пространстве. И раз в этом случае образ не обязан быть замкнутым -- то, соответственно, и банаховым.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #619938 писал(а):

Постановка ТС допускает, что образ содержится во входном пространстве.

это уже Ваши фантазии, про "исходное пространство" там и слова сказано не было, и в Вашем посте, который я цитировал, про него не было сказано. А главное, что "исходное пространство" вообще не нужно для определения банаховости.

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #619954 писал(а):

это уже Ваши фантазии,

это не фантазии, а объяснения, причём именно по существу, а не по форме. Если ТС достаточно квалифицирован, то он их прекрасно поймёт. Если нет -- то глубоко возмутится; но вот пусть сначала возмутится, тогда и можно будет думать о следующих приближениях; пока же -- рано.