Предел последовательности

[boomeer]

1) Как доказать, что для любой положительной последовательности, которая стремится к нулю, мы можем построить ограничивающую ее сверху выпуклую последовательность, которая тоже стремится к нулю?
2) Пусть у нас есть последовательность, такая, что среднее арифметическое ее элементов стремится к какому то $g$ и $x(c_(_x_+_1_)-c_x)$ стремится к $f$. Там и там x стремится к бесконечности. Доказать, что последовательность ${c_x}$ сходится и найти ее предел. $f$ и $g$ рациональные.
3) Доказать, что последовательность $x_n=\sqrt{a+\sqrt{a+...+\sqrt{a}}}$ сходится и найти ее предел.

[xmaister]

1. Если я Вас ппавильно поня тоэто следует из того что метрика на $\mathbb{R}$- инвариантна.

-- 15.09.2012, 16:22 --

3. $f(x)=\sqrt{a+x}$ непрерывна на $[0,2a]$ и монотонно возрастает, откуда следт схидимость...

[boomeer]

1) эм... Вообще не разобрался. Можно ли это как то проще или хотя бы более развернуто?
3) А без ввода функции чтобы не использовать непрерывностт? По Коши тогда? Можете написать решение для проверки?

[SpBTimes]

3) Докажите монотонность и ограниченность и воспользуйтесь Вейерштрассом
2) вообще не ясно что о чем

[boomeer]

2) ($c_1+c_2+...+c_x)/x -> g$ При $x$ стремящимся к бесконечности.
$x(c_x_+_1-c_x)->f$ При $x$ стремящимся к бесконечности.
Далее по условию - доказать, что сходится...
3) снизу нулем ограниченна? Вернее - как тут вообще доказать ограниченность?

[arqady]

boomeer в сообщении #619378 писал(а):

3) снизу нулем ограниченна? Вернее - как тут вообще доказать ограниченность?

Если $a=0$, то Ваша последовательность очевидно сходится. Если $a<0$, то Ваша задача неверна.
Если $a>0$, то последовательность возрастает (докажите) и ограничена сверху ну, например, числом $\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$(докажите).

[boomeer]

Окей. С последней разобрался - оказался вообще безыдейный бред, тупо на теорию. Первые две все еще не понятны.

[xmaister]

1. Пусть $X$- метризуемое ТВП и $d:X\times X\to\mathbb{R}$- инвариантная метрика. Тогда пусть $x\in X, n\in\mathbb{N}$, имеем $d(0,nx)\le nd(0,x)$. Положим, что $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ сходится к нулю. Тогда для всякого $k\in\mathbb{N}$ существует $N$, такое что для всех $n>N$ имеем $d(0,x_n)<\frac{1}{k^2}$, значит $d(0,kx_n)\le kd(0,x_n)<\frac{1}{k}$. Определим последовательность $N_k=\inf\{n|d(0,x_n)<\frac{1}{k^2},n\in \mathbb{N}\}$, положив при этом что не существует такого $n$ начиная с которого последовательность была бы нулевой(это гарантирует, что $N_k$- бесконечно большая). Теперь кладем, что $a_i=1, 1 \lе i \le N_1$ и то что все $a_i,i\le N_k$- определены. Определим для $N_k<i\le N_{k+1}$ $a_i=k+1, N_{k+1}>N_k$. Тем самым показано, что последовательность $\{a_nx_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ сходится к нулю, а $a_n$- бесконечно большая. Это то, что Вы хотели?

[SpBTimes]

boomeer в сообщении #619394 писал(а):

Окей. С последней разобрался - оказался вообще безыдейный бред, тупо на теорию. Первые две все еще не понятны.

Сами не разобрались - значит не бред.

Для второй задачи.
Рассмотрим $c_n = n(a_{n+1} - a_n)$. Тогда: $\frac{c_1 + ... + c_n}{n} = -\frac{a_1 + ... + a_n}{n} + a_{n+1}$.
Но $\frac{c_1 + ... + c_n}{n} \to b$, а значит $a_n \to b + a$

[boomeer]

Спасибо)
4) Пусть для $a$ и $b$ $>0$ выполнены следующие соотношения: $x_1=(ab)/(a+b)$; $x_n_+_1=(ab)/(a+b-x_n)$. Найти выражение для $x_n$ и предел $x_n$.
Эммм... Как понять "выражение для $x_n$"? Ну и предел найти тоже не получается...
5) $x_1=x$; $x_n_+_1=x_n^2-2$ При каких значениях такая последовательность будет сходиться?

[SpBTimes]

4) Выведите $x_n$ через $x_1$.
5) Выпишите снова последовательность $x_{n+1}$ через $x_1$
Предполагая, что $x_n$ сходится можно получить, что её предел будет равен либо $2$, либо $-1$. Посмотрите, что возможно и когда

[boomeer]

SpBTimes в сообщении #619463 писал(а):

4) Выведите $x_n$ через $x_1$.

Вот рассматриваю я $x_2=\frac{ab}{a+b-a_1}=\frac{(ab)(a+b)}{(a+b)^2-ab}$
Аналогично $x_3=\frac{ab((a+b)^2-ab)}{(a+b)^3-2ab(a+b)}$
Делаю предположение, что $x_n=x_1\frac{(a+b)^(^n^-^1^)-(ab)^(^n^-^2^)}{(a+b)^{n-1}}$ Минус бяка в знаменателе, которую хз как выразить.
Тупик.

-- Вс сен 16, 2012 14:59:18 --

6) Вопрос из головы.
Вот вводим мы аксиоматику вещественных чисел и говорим, что существует единственный особый элемент $0$, такой, что $a+0=a$; И особая единственная единица, такая, что $a*1=a$. Давайте не будем обозначать эти "особые элементы" натуральными числами, чтобы они нас не сбивали. А скажем, что есть особая $fi_1$ такая, что, $a*fi_1=a$. И $fi_2$, такая, что $a+fi_2=a$. Как теперь доказать, что эти особые элементы $fi_1$ и $fi_2$ не равны друг другу?

[Mitrius_Math]

Про нуль. Пусть существуют два нуля $0_1$ и $0_2$. Тогда $0_1=0_1+0_2=0_2+0_1=0_2$. Единственность единицы доказывается аналогично.

[boomeer]

Mitrius_Math в сообщении #619590 писал(а):

Про нуль. Пусть существуют два нуля $0_1$ и $0_2$. Тогда $0_1=0_1+0_2=0_2+0_1=0_2$. Единственность единицы доказывается аналогично.

Не единственность. А то, что $0!=1$. Т.е. Эти особые элементы не равны. Если бы они были равны, это не противоречило бы тому, что они единственные.

[Mitrius_Math]

То, что нуль не равен единице?