Расстояние между центрами впис. и опис. сфер тетраэдра

[Nikolai Moskvitin]

Добрый вечер!

Довольно давно стало интересно: для треугольника есть формула, выражающая расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника через их радиусы; а есть ли такая формула, например, для тетраэдра в трёхмерном пространстве (я имею в виду произвольный тетраэдр)? Есть вообще какая-то негромоздкая формула для этого расстояния?

С уважением, Николай

[Профессор Снэйп]

А в тетраэдр всегда можно сферу вписать? Или там описать сферу вокруг?

[Nikolai Moskvitin]

Профессор Снэйп в сообщении #618842 писал(а):

А в тетраэдр всегда можно сферу вписать? Или там описать сферу вокруг?

Мне точно известно, что всегда. Вот высоты пересекаются не во всех тетраэдрах.

[Профессор Снэйп]

Насчёт вписать я понимаю, почему. Будем "раздувать" сферу, касающуяся граней одного из трёхгранных углов тетраэдра до тех пор, пока она противоположной стороны не коснётся.

А вот насчёт описанной сферы, увы, не понимаю почему.

[bot]

Вокруг треугольника $ABC$ описываем окружность с центром $O$ и описываем окружность около $AOD$. Её центр и есть центр искомой сферы.

[Профессор Снэйп]

bot в сообщении #619032 писал(а):

Вокруг треугольника $ABC$ описываем окружность с центром $O$ и описываем окружность около $AOD$. Её центр и есть центр искомой сферы.

Чёт сомневаюсь, что центр этой окружности есть центр искомой сферы.

Но да, возможность описать сферу увидел. На первую окружность натягиваем сферу так, что эта окружность будет её параллелью. И раздуваем её так, чтоб она попала в точку $D$.

[bot]

И без раздувания ясно - на перпендикуляре из центра первой окружности лежат все точки равноудалённые от $A, B, C$. Теперь на нём ищем точку в плоскости AOD, равноудалённую от $A$ и $D$. Это и будет ... , ан нет, не будет. Это-то, конечно, будет центром искомой сферы, но не будет центром окружности, описанной около $AOD$ - это ж просто середина отрезка $AD$.
Сначала хотел написать, как сейчас начал, но посчитал, что это длинно и решил подсократить - КЗ, видать где-то, случилось.
Upd. Блин, опять лажу спорол, откуда плоскость взялась? А ну-да - из предыдущей лажи. На перпендикуляре эту точку ясно как найти - через середину $AD$ проводим перпендикулярно плоскость и её пересечение с перпендикуляром даст искомый центр.

[INGELRII]

Об чем дискутируем-то? Найти для тетраэдра описанную сферу значит найти такую сферу, что все вершины тетраэдра принадлежат ей. Уравнение сферы: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$, где неизвестные параметры $x_0 ,y_0 ,z_0 ,R$. Четыре неизвестных. Вершин у тетраэдра четыре, подставляем их координаты в уравнение сферы, получаем четыре уравнения. Вычитая, например, первое уравнение из остальных трех, получаем линейную систему уравнений относительно $x_0 ,y_0 ,z_0$. Она имеет единственное решение, так как ее определитель не равен нулю (вершины тетраэдра не лежат в одной плоскости). Подставляя найденные $x_0 ,y_0 ,z_0$ в первое уравнение, найдем $R$. Вывод: сфера всегда существует и единственна.

Ангем рулит.

[bot]

Да, конечно, ровно так же как через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести ровно одну окружность, так и через 4 точки, не лежащих в одной плоскости, проходит единственная сфера.
Дискуссии как таковой и нет - одному было лень подумать, а другому лень прочитать, что написал.

[Vitalius]

Человеку было интересно есть ли пространственный аналог известной планиметрической теоремы Эйлера? Т.е. расстояние между центрами сфер, вписанные и описанные соответственно внутри и вокруг произвольного тетраэдра, выражается ли только чрез радиусами этих сфер ($r$ и $R$)? Задача интересна. INGELRII правильно сказал как можем найти центр и радиус описанной сферы. Вот система в явном виде:

$\left[ \begin{array}{ll} R^{2}=(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0})^{2}\\ (x_{2}-x_{1})x_{0}+(y_{2}-y_{1})y_{0}+(z_{2}-z_{1})z_{0}=\frac{1}{2}(x_{2}^{2}-x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}^{2})\\ (x_{3}-x_{1})x_{0}+(y_{3}-y_{1})y_{0}+(z_{3}-z_{1})z_{0}=\frac{1}{2}(x_{3}^{2}-x_{1}^{2}+y_{3}^{2}-y_{1}^{2}+z_{3}^{2}-z_{1}^{2})\\ (x_{4}-x_{1})x_{0}+(y_{4}-y_{1})y_{0}+(z_{4}-z_{1})z_{0}=\frac{1}{2}(x_{4}^{2}-x_{1}^{2}+y_{4}^{2}-y_{1}^{2}+z_{4}^{2}-z_{1}^{2}) \end{array} \right.$ (1)

Здесь $(x_{i},y_{i},z_{i})$ это конечно декартовие координаты центра опис. сфере ($i=0$) и координаты 4 вершин тетраэдра ($i=1,2,3,4$). (1) позволяет найти сначала центра впис. сф. (т.е. $x_0$, $y_0$ и $z_0$) и $R$ как функции $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ и $x_{4}$. Теперь тоже самое надо сделать относительно центра и радиуса впис. сф. Для этой цели можем использовать то, что центр впис. сф. является точкой пересечения биссектральных плоскостей двугранных углов тетраэдра. Радиус впис. сф. будет расстояние от её центра до любой стене тетраэдра. Зная эти новые 4 функции $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ и $x_{4}$ ($x_5$, $y_5$, $z_5$ и $r$), можем найти расстояние между центрами опис. и впис. сф. $d$ как следует:

$d^{2}=(x_{0}-x_{5})^{2}+(y_{0}-y_{5})^{2}+(z_{0}-z_{5})^{2}$

Наконец, чтобы дать ответ поставленной ТС задачи надо исследовать является ли так найденное расстояние $d$ функцией только $R$ и $r$?

[Vitalius]

Хм, нахождение центра впис. сфере $\overrightarrow{r_{5}}\equiv (x_{5},y_{5},z_{5})$ тоже можно свести к реш. лин. системе уравнений. И для этой цели можем использовать то, что центр впис. сфере находится на одно и тоже расстояние от всех 4 стен тетраэдра. Только поскольку соответствующие формулы содержат модули, у нас будут не одна система как в случае с опис. сфере. Эта совокупность линейных систем для $\overrightarrow{r_{5}}$ описывает и те сферы, которые впис. вне тетраэдра - т.е. касаются не собственно к стен тетраэдра, а к плоскостей которые они образуют. Для краткости запишу эти лин. системы (для декартовых компонент всех возможных $\overrightarrow{r_{5}}$) в векторной форме. Как записываются в виде детерминант соответствующие смешанные векторные произведения, думаю все знают. И так, вот:

$\left[\begin{array}{ll} \frac{(\overrightarrow{r}_{5}-\overrightarrow{r}_{1})\cdot (\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})}{|(\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})|}=\pm \frac{(\overrightarrow{r}_{5}-\overrightarrow{r}_{1})\cdot (\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})}{|(\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})|}\\ \\ \frac{(\overrightarrow{r}_{5}-\overrightarrow{r}_{1})\cdot (\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})}{|(\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})|}=\pm \frac{(\overrightarrow{r}_{5}-\overrightarrow{r}_{1})\cdot (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})}{|(\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})|}\\ \\ \frac{(\overrightarrow{r}_{5}-\overrightarrow{r}_{1})\cdot (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})}{|(\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})|}=\pm \frac{(\overrightarrow{r}_{5}-\overrightarrow{r}_{2})\cdot (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{2})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{2})}{|(\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{2})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{2})|} \end{array}\right.$ (2)

Здесь знаки $\pm$ можем выбирають независимо друг от друга. Поэтому мне в этих лин. системах не нравится только то, что надо дополнительно разбираться какой из всех векторах $\overrightarrow{r}_{5}$ является радиус-вектор центра той сфере, которая собственно впис. в тетраэдре. Алгоритм программой Mathematica, который по идее сможет найти решение задачи ТС, готов написать. Но хочется как-то избежать нахождение центров все вне впис. сферы. Если есть кто-то, который может помочь в этом, пусть скажет! Зная то решение (2) $\overrightarrow{r}_{5}$, которое относиться для точки, что находится внутри тетраэдра, можем найти легко радиус впис. сфере $r$. Он будет расстояние от этой точке до любой стене тетраэдра - скажем та в которой лежат вершины 1, 2 и 3. Или:

$r=\frac{|(\overrightarrow{r}_{5}-\overrightarrow{r}_{1})\cdot (\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})|}{|(\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})|}$ (3)

Кстати (1), удобно записывается так в векторной форме:

$\left[\begin{array}{ll} (\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\cdot\overrightarrow{r}_{0}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{r}_{2}^{2}-\overrightarrow{r}_{1}^{2})\\ \\ (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})\cdot\overrightarrow{r}_{0}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{r}_{3}^{2}-\overrightarrow{r}_{1}^{2})\\ \\ (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})\cdot\overrightarrow{r}_{0}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{r}_{4}^{2}-\overrightarrow{r}_{1}^{2})\\ \\ R^{2}=(\overrightarrow{r}_{1}-\overrightarrow{r}_{0})^{2} \end{array}\right.$ (1)

Аналогично можем записать и расстояние $d$ между центрами впис. и опис. сфер в вект. форме:

$d^{2}=(\overrightarrow{r}_{0}-\overrightarrow{r}_{5})^{2}$ (4)

[Vitalius]

Хм, эта задачка видимо никого не интересует. Тем не менее она сама по себе достаточно интересна. Я всё-ещё хочу с ней разобраться. Отмечу пока, что, как мне кажется, путь к простым решением задачки проходит через использованием барицентрических координат и теоремы об изогональным сопряжением для барицентрических координат центра впис. сфере.

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

Может, ещё поможет следующее утверждение: если $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$- расстояния от произвольной точки внутри тетраэдра до его граней; $h_1$, $h_2$, $h_3$, $h_4$- соотвествующие высоты тэтраэдра, то $\frac{x_1}{h_1}+\frac{x_2}{h_2}+\frac{x_3}{h_3}+\frac{x_4}{h_4}=1$
(ссылка: Шарыгин. Стереометрия. М,2000 с.29 задача №199)

[Vitalius]

Ну да, это поможет найти радиус впис. сферы. Спасибо Nikolai Moskvitin! Поскольку высоти тетраэдра, это расстояния от его i-той вершине до соответствующую противоположную грань, то можем записать:

$\begin{array}{ll} \frac{1}{r}=\frac{|(\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{2})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{2})|}{|(\overrightarrow{r}_{1}-\overrightarrow{r}_{2})\cdot (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{2})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{2})|}+ \frac{|(\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})|}{|(\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\cdot (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})|}+\\ \\ \ \ \ +\ \frac{|(\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})|}{|(\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})\cdot (\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})|}+ \frac{|(\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})|}{|(\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})\cdot (\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})|}.\end{array} (5)

К сожаленью эта формула плохо годится для поиски связь между $d$, $r$ и $R$ - изза модулей тройных векторных произведений, которые в ней присутствуют.

[Vitalius]

Может быть будет лучше если сист. (2) представим в более симметричном виде - как лин. сист. $4\times4$. Эта лин. сист. позволяет определить радиусов $r$ всех возможных впис. сфер (вне и внутри тетраэдра), вместе с компонентами радиус-вектора $\overrightarrow{r}_{5}$ соответствующим центром этих сфер. Система выглядит так:

$\left[\begin{array}{ll} \frac{(\overrightarrow{r}_{5}-\overrightarrow{r}_{1})\cdot (\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})}{|(\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})|}+k_{1}r=0\\ \\ \frac{(\overrightarrow{r}_{5}-\overrightarrow{r}_{1})\cdot (\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})}{|(\overrightarrow{r}_{2}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})|}+k_{2}r=0\\ \\ \frac{(\overrightarrow{r}_{5}-\overrightarrow{r}_{1})\cdot (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})}{|(\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{1})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{1})|}+k_{3}r=0\\ \\ \frac{(\overrightarrow{r}_{5}-\overrightarrow{r}_{2})\cdot (\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{2})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{2})}{|(\overrightarrow{r}_{3}-\overrightarrow{r}_{2})\times (\overrightarrow{r}_{4}-\overrightarrow{r}_{2})|}+k_{4}r=0 \end{array}\right.$ (2a).

Здесь:

$k_{i}=\pm 1$,\ i\in \{1,2,3,4\} (2b).

Напоминаю, что сист. (2) и (2a) выражают то, что точка с радиус-вектором $\overrightarrow{r}_{5}$ находится на одно и тоже расстояние $r$ от всех 4 стен тетраэдра.