Бесконечные поля

[vladb314]

Существуют ли поля мощности большей $c$?

[apriv]

vladb314 в сообщении #619072 писал(а):

Существуют ли поля мощности большей $c$?

Сколько угодно; присоедините к $\mathbb Q$ любое количество трансцендентных переменных.

[vladb314]

apriv в сообщении #619106 писал(а):

Сколько угодно; присоедините к $\mathbb Q$ любое количество трансцендентных переменных.

Что значит "любое количество"? Включая бесконечное? Если мы присоединим конечное число трансцендентных переменных, мы получим поле рациональных функций с рациональными коэффициентами от $n$ переменных. Его мощность равна $\aleph_0$. Или я ошибаюсь?

[apriv]

vladb314 в сообщении #619129 писал(а):

Что значит "любое количество"? Включая бесконечное?

Любой мощности, да.

[vladb314]

apriv в сообщении #619148 писал(а):

Любой мощности, да.

А как присоединить к полю, например, континуум переменных? Трансфинитной индукцией?
Что будет в этом случае представлять элемент поля? Функцию от континуума переменных?

[apriv]

vladb314 в сообщении #619160 писал(а):

Что будет в этом случае представлять элемент поля? Функцию от континуума переменных?

Рациональную функцию от конечного числа из присоединенных переменных.

[vladb314]

apriv в сообщении #619185 писал(а):

Рациональную функцию от конечного числа из присоединенных переменных.

А... Вон как! Тогда понятно, спасибо.
Всё-таки можно у вас попросить какую-нибудь литературу по этому вопросу? А то весь Интернет перерыл, не нашёл.

[apriv]

Кстати, из теоремы Левенгейма—Скулема тоже сразу следует, что на свете есть поле любой мощности. А алгебраически замкнутое поле данной характеристики и данной несчетной мощности ровно одно с точностью до изоморфизма.

[vladb314]

apriv в сообщении #619234 писал(а):

Кстати, из теоремы Левенгейма—Скулема тоже сразу следует, что на свете есть поле любой мощности. А алгебраически замкнутое поле данной характеристики и данной несчетной мощности ровно одно с точностью до изоморфизма.

Что-то как-то не совсем очевидно следует.
Теорема Лёвенгейма-Скулема. Если множество предложений счётного языка первого порядка имеет бесконечную модель, то оно имеет модель произвольной бесконечной мощности.
Ну допустим, если есть счётное поле, то можно считать, что это бесконечная модель некоторого языка первого порядка. И тогда у этого языка есть модель любой бесконечной мощности, т.е. поле любой бесконечной мощности. А вот как из этого следует, что алгебраически замкнутое поле данной характеристики и данной несчётной мощности только одно?

[apriv]

vladb314 в сообщении #619433 писал(а):

А вот как из этого следует, что алгебраически замкнутое поле данной характеристики и данной несчётной мощности только одно?

Из этого никак не следует, это просто забавный факт, более или менее очевидный в теории полей (взяли базисы трансцендентности, установили биекции и продолжили до биекции полей, коли уж они алгебраически замкнутые).

[vladb314]

apriv в сообщении #619485 писал(а):

Из этого никак не следует, это просто забавный факт, более или менее очевидный в теории полей (взяли базисы трансцендентности, установили биекции и продолжили до биекции полей, коли уж они алгебраически замкнутые).

Тогда любое алгебраически замкнутое счётное поле изоморфно полю алгебраических комплексных чисел, а любое алгебраически замкнутое континуальное поле изоморфно полю комплексных чисел?
Поле алгебраических комплексных чисел, насколько я понимаю, состоит из чисел вида $a+bi$, где $a,b\in \mathbb{A}$. Можно ли доказать, что это поле алгебраически замкнуто? Есть несколько доказательств основной теоремы алгебры, но в каждом из них, если я не ошибаюсь, используется непрерывность множества комплексных чисел. Множество алгебраических комплексных чисел не является непрерывным, поэтому распространить эти доказательства не удастся.

[apriv]

vladb314 в сообщении #619611 писал(а):

Тогда любое алгебраически замкнутое счётное поле изоморфно полю алгебраических комплексных чисел, а любое алгебраически замкнутое континуальное поле изоморфно полю комплексных чисел?

Я же там написал про то, что мощность должна быть несчетной. Счетных алгебраически замкнутых полей много разных: можно присоединить к $\mathbb Q$ конечное или счетное число трансцендентных переменных и алгебраически замкнуть. А вот про континуальное правда, да.

[Xaositect]

vladb314 в сообщении #619611 писал(а):

любое алгебраически замкнутое континуальное поле изоморфно полю комплексных чисел

Любое алгебраически замкнутое континуальное поле характеристики 0 изоморфно $\mathbb{C}$.

vladb314 в сообщении #619611 писал(а):

любое алгебраически замкнутое счётное поле изоморфно полю алгебраических комплексных чисел

Нет, любое поле $\overline{\mathbb{Q}(x_1,\dots,x_k)}$ счетно.

vladb314 в сообщении #619611 писал(а):

Можно ли доказать, что это поле алгебраически замкнуто? Есть несколько доказательств основной теоремы алгебры, но в каждом из них, если я не ошибаюсь, используется непрерывность множества комплексных чисел. Множество алгебраических комплексных чисел не является непрерывным, поэтому распространить эти доказательства не удастся

Есть алгебраические доказательства, опирающиеся только на тот факт, что действительный многочлен нечетной степени имеет корень. http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamenta ... aic_proofs

[vladb314]

Xaositect в сообщении #619658 писал(а):

vladb314 в сообщении #619611 писал(а):

любое алгебраически замкнутое континуальное поле изоморфно полю комплексных чисел

Любое алгебраически замкнутое континуальное поле характеристики 0 изоморфно $\mathbb{C}$.

Согласен.

Xaositect в сообщении #619658 писал(а):

vladb314 в сообщении #619611 писал(а):

любое алгебраически замкнутое счётное поле изоморфно полю алгебраических комплексных чисел

Нет, любое поле $\overline{\mathbb{Q}(x_1,\dots,x_k)}$ счетно.

Согласен.

Xaositect в сообщении #619658 писал(а):

vladb314 в сообщении #619611 писал(а):

Можно ли доказать, что это поле алгебраически замкнуто? Есть несколько доказательств основной теоремы алгебры, но в каждом из них, если я не ошибаюсь, используется непрерывность множества комплексных чисел. Множество алгебраических комплексных чисел не является непрерывным, поэтому распространить эти доказательства не удастся

Есть алгебраические доказательства, опирающиеся только на тот факт, что действительный многочлен нечетной степени имеет корень. http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamenta ... aic_proofs

Да, но это является следствием теоремы Больцано-Коши о том, что непрерывная функция, принимающая на отрезке значения разных знаков, внутри этого отрезка хотя бы раз обращается в 0. Если распространить это доказательство на множество алгебраических комплексных чисел, то там вместо множества $\mathbb{R}$ будет множество $\mathbb{A}$. А для функций, заданных на множестве $\mathbb{A}$ эта теорема неверна.

[apriv]

И да, поле алгебраических чисел действительно алгебраически замкнуто; это несложно доказать.