кривая на плоскости и шар

[Oleg Zubelevich]

На плоскости начерчена гладкая кривая, на эту кривую поставлен однородный шар, который может катиться по плоскости без проскальзывания. Доказать, что можно так подобрать поступательное движение плоскости, что шар покатится по кривой.

[begimer]

плоскость может находиться под любым углом к вертикали?
поле силы тяжести отсутствует?

[Oleg Zubelevich]

да, отсутствует, есть только то, что написано

[begimer]

если не ошибаюсь, то для трехмерного поступательного движения допустимо движение необязательно вдоль прямой. главное, чтобы сохранялся параллельный перенос. в таком случае возможно "винтовое" движение плоскости(с параллельным переносом), которое и обеспечит движение шара по гладкой кривой.

[MajorUrsus]

Введем обозначения:
$m$ - масса шара,
$R$ - радиус шара,
$J$ - момент инерции шара (для однородного шара $J=\frac 25 mR^2$),
$\bar{r}(t)$ - координаты центра плоскости в покоящейся системе координат,
$\bar{r}`(t)$ - координаты точки касания шара относительно центра плоскости,
$\bar{R}$ - вертикально направленный радиус-вектор шара,
$\bar{\omega}$ - угловая скорость шара,
$\bar{F}_t$ - сила трения действующая со стороны плоскости на шар.
Записываем уравнения:
$\bar{F}_t=m(\ddot{\bar{r}}`+\ddot{\bar{r}})$ - 2-й закон Ньютона,
$[\bar{F}_t,\bar{R}]=J\dot{\bar{\omega}}$ - уравнение моментов,
$[\bar{\omega} ,\bar{R}]=\dot{\bar{r}}$ - уравнение кинематики.
Исключая из уравнений $\bar{F}_t,\bar{\omega}$ получим окончательно:
$(1+\frac {J}{mR^2})\ddot{\bar{r}}=-\ddot{\bar{r}}`$.
Для однородного шара имеем
$\ddot{\bar{r}}`=-\frac 75\ddot{\bar{r}}$.
Таким образом, если мы хотим, чтобы шар прокатился по кривой $\gamma :\bar{r}(t)$, то стол (плоскость под шаром) надо поступательно перемещать по кривой $\bar{r}`(t)=-\frac 75 \bar{r}(t)$.
Интересно, что в абсолютной системе отсчета центр шара опишет траекторию в масштабе $\frac 25$.
И еще интересный вывод: если в начальный момент плоскость и центр шара покоились (верчение шара ни на что не влияет), то после остановки плоскости центр шара также остановится.

[Oleg Zubelevich]

ok

[hurtsy]

Oleg Zubelevich в сообщении #617983 писал(а):

ok

Вы можете отказаться от заданной гладкой кривой, а в задаче потребовать найти движение стола обеспечивающее безотрывность движения шара в условиях переменного(в пространстве-времени) гравитационного поля? С уважением.