2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: limit
Сообщение12.09.2012, 20:38 


29/08/11
1137
Xaositect, аа)) всё, теперь понял почему так. Благодарствую за помощь.

Наверное в этой теме можно продолжить. То есть зачем нужно было доказательство этого предела.
Конкретно для задачи:
Цитата:
Пусть $0<\alpha<1$, $a_1=1$, $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+(a_n)^{\alpha}} (n=2, 3, ...)$. Доказать, что существует такое число $M$, что для любого натурального $N$ $$a_1+a_2+...+a_N < M.$$


xmaister в сообщении #609255 писал(а):
Keter, докажите что $\frac1{a_{n+1}^\alpha}-\frac1{a^\alpha_n}\to\alpha$, далее Штольц и всё :-)

Я ознакомился с теоремой Штольца. И я никак не могу понять, каким боком её здесь применить для доказательства сходимости ряда $a_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: limit
Сообщение13.09.2012, 01:57 


29/08/11
1137
Согласно теореме Чезаро-Штольца:
$$\dfrac{1}{n} \sum_{n=1}^{n-1} \bigg( \dfrac{1}{a_{n+1}^{\alpha}}-\dfrac{1}{a_n^{\alpha}} \bigg) \to \alpha$$
$$a_n \sim \dfrac{1}{\sqrt[\alpha]{\alpha n}}$$
Ряды $\sum_{k=1}^{\infty} a_n$ и $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[\alpha]{\alpha n}}$ сходятся одновременно согласно предельному признаку. Последний сходится, как гармонический с показателем $\dfrac{1}{\alpha}>1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: limit
Сообщение14.09.2012, 00:46 


29/08/11
1137
Slip, я понял, что разложив в ряд Тейлора в приближении $o(x)$ получим
$$(1+x)^\alpha = 1+\alpha x$$
$$\lim_{x \to 0}{\dfrac{(1+x)^\alpha}{x}-1}=\lim_{x \to 0}{\dfrac{1+ \alpha x -1}{x}}=\alpha$$

 Профиль  
                  
 
 Re: limit
Сообщение14.09.2012, 01:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск

(Оффтоп)

Keter в сообщении #618516 писал(а):
$$(1+x)^\alpha = 1+\alpha x$$

Очень не хорошо выглядит, лучше писать сразу $(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+o(x^2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: limit
Сообщение14.09.2012, 07:32 


29/08/11
1137
xmaister, а потом уже оговаривать, что $o(x^2) \to 0$, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: limit
Сообщение14.09.2012, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5930
Новосибирск
$o(x^2)$ слишком много и неверно - надо О большое, но сойдёт и $o(x)$,
а $o(x^2)\to 0 $ (или даже $o(x)\to 0 $) слишком мало, а вот $\dfrac{o(x)}{x}\to 0 $ в самый раз будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: limit
Сообщение14.09.2012, 14:59 


29/08/11
1137
bot, в каком смысле? Я имею ввиду, что вообще означает $o(x)$, что означает разложить функцию $f(x)=(1+x)^\alpha$ в ряд Тейлора в приближении $o(x)$??

$$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+...+\dfrac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+...$$

Что имеется ввиду под "в приближении $o(x)$" ?

 Профиль  
                  
 
 Re: limit
Сообщение14.09.2012, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5930
Новосибирск
Если значение функции $f$ в точке $x$ заменить на значение некоторой другой функции $p$ в той же точке, то разность $r(x)=f(x)-p(x)$ называют остатком или остаточным членом формулы $f(x)=p(x)+r(x)$. Приближающие функции $p$ обычно выбирают из заранее выбранного класса функций, а остаток стараются сделать в каком-то смысле поменьше. Если поставить задачу приблизить функцию многочленом (разложенном по степеням x-x_0) так, чтобы остаток был o малым в сравнении со старшим членом многочлена, то для достаточно многыжды дифференцируемой функции приближающий многочлен вычисляется однозначно, называется многочленом Тейлора, а сам остаток (о малый в сравнении со старшей степенью) тогда имеет форму Пеано - самая простая форма, удобная к примеру в вычислениях пределов. Для других целей она может малопригодной или совсем непригодной - для численных оценок погрешности вычислений, к примеру, но есть и другие формы остатка.

-- Пт сен 14, 2012 22:56:53 --

Гуглите и обрящете.

 Профиль  
                  
 
 Re: limit
Сообщение14.09.2012, 18:59 


29/08/11
1137
bot, ну а фактически это означает, что моё разложение будет иметь вид $(1+x)^\alpha=1+\alpha x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: limit
Сообщение14.09.2012, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5930
Новосибирск
Оно неверно - для восстановления нарушенного в результате подмены функции многочленом первой степени к нему следует добавить остаток. Если его брать в форме Пеано, то это и будет слагаемое $o(x)$:
$$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+o(x)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: limit
Сообщение14.09.2012, 19:18 


29/08/11
1137
bot, понял. То есть $r_n(x)=o[(x-a)^n]$, в моём случае a=0, и n=1.

-- 14.09.2012, 19:27 --

Хотя нет. Не понял. Мы же отбрасываем все слагаемые после $n=2$ включительно. Тогда остаточный член будет $r_2(x)=o(x^2)$, $a=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: limit
Сообщение15.09.2012, 04:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5930
Новосибирск
Повторяю: остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано - о малое в сравнению со степенью многочлена Тейлора. Многочлен $1+\alpha x$ имеет первую степень. Если взять остаток после второй степени, то получится
$$(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+\dfrac{\alpha (\alpha -1)}{2}x^2+o(x^2)$$.
В частности, отсюда следует, что $(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+O(x^2)$, а оценка $(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+o(x^2)$ неверна за исключением двух случаев ($\alpha=0$ и $\alpha=1$) - возьмите хотя бы $\alpha=2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: limit
Сообщение15.09.2012, 17:36 


29/08/11
1137
bot, по условию задачи $\alpha \in (0; 1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: limit
Сообщение15.09.2012, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5930
Новосибирск
При чём здесь задача? Мы ведь про формулу Тейлора говорили, а она верна при любой альфе. И оценка остатка верна тоже при любой альфе, а $\alpha=2$ я взял просто потому, что в этом случае совершенно очевидна верность оценки $o(x)$ и неверность $o(x^2)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group