limit

[Keter]

Xaositect, аа)) всё, теперь понял почему так. Благодарствую за помощь.

Наверное в этой теме можно продолжить. То есть зачем нужно было доказательство этого предела.
Конкретно для задачи:

Цитата:

Пусть $0<\alpha<1$, $a_1=1$, $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+(a_n)^{\alpha}} (n=2, 3, ...)$. Доказать, что существует такое число $M$, что для любого натурального $N$

$$a_1+a_2+...+a_N < M.$$

xmaister в сообщении #609255 писал(а):

Keter, докажите что $\frac1{a_{n+1}^\alpha}-\frac1{a^\alpha_n}\to\alpha$, далее Штольц и всё

Я ознакомился с теоремой Штольца. И я никак не могу понять, каким боком её здесь применить для доказательства сходимости ряда $a_n$.

[Keter]

Согласно теореме Чезаро-Штольца:

$$\dfrac{1}{n} \sum_{n=1}^{n-1} \bigg( \dfrac{1}{a_{n+1}^{\alpha}}-\dfrac{1}{a_n^{\alpha}} \bigg) \to \alpha$$

$$a_n \sim \dfrac{1}{\sqrt[\alpha]{\alpha n}}$$

Ряды $\sum_{k=1}^{\infty} a_n$ и $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[\alpha]{\alpha n}}$ сходятся одновременно согласно предельному признаку. Последний сходится, как гармонический с показателем $\dfrac{1}{\alpha}>1$.

[Keter]

Slip, я понял, что разложив в ряд Тейлора в приближении $o(x)$ получим

$$(1+x)^\alpha = 1+\alpha x$$

$$\lim_{x \to 0}{\dfrac{(1+x)^\alpha}{x}-1}=\lim_{x \to 0}{\dfrac{1+ \alpha x -1}{x}}=\alpha$$

[xmaister]

(Оффтоп)

Keter в сообщении #618516 писал(а):

$$(1+x)^\alpha = 1+\alpha x$$

Очень не хорошо выглядит, лучше писать сразу $(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+o(x^2)$

[Keter]

xmaister, а потом уже оговаривать, что $o(x^2) \to 0$, так?

[bot]

$o(x^2)$ слишком много и неверно - надо О большое, но сойдёт и $o(x)$,
а $o(x^2)\to 0 $ (или даже $o(x)\to 0 $) слишком мало, а вот $\dfrac{o(x)}{x}\to 0 $ в самый раз будет.

[Keter]

bot, в каком смысле? Я имею ввиду, что вообще означает $o(x)$, что означает разложить функцию $f(x)=(1+x)^\alpha$ в ряд Тейлора в приближении $o(x)$??

$$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+...+\dfrac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+...$$

Что имеется ввиду под "в приближении $o(x)$" ?

[bot]

Если значение функции $f$ в точке $x$ заменить на значение некоторой другой функции $p$ в той же точке, то разность $r(x)=f(x)-p(x)$ называют остатком или остаточным членом формулы $f(x)=p(x)+r(x)$. Приближающие функции $p$ обычно выбирают из заранее выбранного класса функций, а остаток стараются сделать в каком-то смысле поменьше. Если поставить задачу приблизить функцию многочленом (разложенном по степеням x-x_0) так, чтобы остаток был o малым в сравнении со старшим членом многочлена, то для достаточно многыжды дифференцируемой функции приближающий многочлен вычисляется однозначно, называется многочленом Тейлора, а сам остаток (о малый в сравнении со старшей степенью) тогда имеет форму Пеано - самая простая форма, удобная к примеру в вычислениях пределов. Для других целей она может малопригодной или совсем непригодной - для численных оценок погрешности вычислений, к примеру, но есть и другие формы остатка.

-- Пт сен 14, 2012 22:56:53 --

Гуглите и обрящете.

[Keter]

bot, ну а фактически это означает, что моё разложение будет иметь вид $(1+x)^\alpha=1+\alpha x$?

[bot]

Оно неверно - для восстановления нарушенного в результате подмены функции многочленом первой степени к нему следует добавить остаток. Если его брать в форме Пеано, то это и будет слагаемое $o(x)$:

$$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+o(x)$$

[Keter]

bot, понял. То есть $r_n(x)=o[(x-a)^n]$, в моём случае a=0, и n=1.

-- 14.09.2012, 19:27 --

Хотя нет. Не понял. Мы же отбрасываем все слагаемые после $n=2$ включительно. Тогда остаточный член будет $r_2(x)=o(x^2)$, $a=0$.

[bot]

Повторяю: остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано - о малое в сравнению со степенью многочлена Тейлора. Многочлен $1+\alpha x$ имеет первую степень. Если взять остаток после второй степени, то получится

$$(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+\dfrac{\alpha (\alpha -1)}{2}x^2+o(x^2)$$

.
В частности, отсюда следует, что $(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+O(x^2)$, а оценка $(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+o(x^2)$ неверна за исключением двух случаев ($\alpha=0$ и $\alpha=1$) - возьмите хотя бы $\alpha=2$.

[Keter]

bot, по условию задачи $\alpha \in (0; 1)$.

[bot]

При чём здесь задача? Мы ведь про формулу Тейлора говорили, а она верна при любой альфе. И оценка остатка верна тоже при любой альфе, а $\alpha=2$ я взял просто потому, что в этом случае совершенно очевидна верность оценки $o(x)$ и неверность $o(x^2)$.